Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
dz* = cos в dr — г sin в dd,
dx* = sin в cos ф dr + r cos в cos фdв -
— г sin в sin фdф, (31.4)
dy* = sin в sin ф dr + r cos в sin фdв + + г sin в cos ф dф.
Метрика ^записана через 1-формы dx, dy к dz. Чтобы преобразовать ее к новым координатам, мы воспользуемся формулами (31.4), выражающими старые 1-формы через новые. Тогда 31. Пространство-время в окрестности Земли
259
(31.5)
после подстановки получим
Jf = -dt2 + (cos в dr - г sin в de)2 +
+ (sin е cos 4>dr + r cos в cos Ф de -
— r sin 0 sin фdф)2 +
+ (sin Є sin фdr + rcos e sin фde +
+ r sin Є cos фdф)2,
откуда после приведения подобных членов следует искомый результат
Jf = —dt2 + dr2 + г2 de2 + г2 sin2 Є йф2. (31.6)
Важнейшее свойство пространства-времени — его симметрии. В рассматриваемом случае временная переменная t не входит в компоненты метрики так что преобразование
Симметрии
(і,г,Є,ф) (f + а,г,Є,Ф)
(31.7)
при любом а оставляет метрику ? неизменной. Векторное поле, генерирующее такое преобразование — это просто d/dt. Любое пространство-время с такого рода симметрией по отношению к сдвигу во времени называется стационарным. Метрика J не меняется также и при отражениях t — —t, dt — — dt. Стационарное пространство-время, обладающее такой дополнительной симметрией, называется статическим. Наконец, угловые координаты в и ф входят в рассматриваемой метрике в члены, совокупность которых описывает геометрию на поверхности сферы, так что наше пространство-время еще и сферически-симметрично.
Рассмотрим одну из таких сферически-симметричных поверхностей, задаваемую уравнениями г = г 0 и t = t 0. Линейный размер такой сферической поверхности, измеренный с помощью инструментов, расположенных на ней самой, определяется величиной Гд, поскольку (г о) 2 представляет собой коэффициент при части метрики (?/02 + sin 2Bdф 2), описывающей поверхность сферы.
Пример
Рассчитаем длину наибольшего замкнутого контура, натянутого на такую сферу, т.е. длину экватора или окружности, ограничивающей любой другой большой круг. Экватор — это кри-
Симметрия по отношению сдвигу во времени
Сферическая симметрия Сферическая оболочка
17» 260
Гл. III. Гравитация
[Здесь все довольно просто. Вникнув в суть вопроса, вы поймете, что ответ непосредственно следует из вида метрики ]
[Слова «внутренним образом» означают «оставаясь на поверхности сферы».]
Кривизна пространства-времени
вая, задаваемая отображением
и н^ [Г(и), R(u), в (и), Ф(ы)] = (t0, г0, у, и),
(31.8)
где 0<m<2jt. Короткий отрезок кривой, заключенный между значениями параметра и и и + Au, описывается вектором Аи(д/дф), а длина этого вектора определяется с помощью метрики S и равна
(Д/)2 = 9 ¦ (ди Д, Ди Д) = (Ди)2г02. (31-9)
Суммирование длин всех таких отрезков, лежащих на кривой, дает
2 Ir 2ir
/ = I д/ = J .Го du = 2Т7Г0. (31.10)
о о
Именно потому, что длина окружности большого круга оказалась равной Iirr0, мы и говорим, что измеренный внутренним образом линейный размер сферы определяется величиной г0. Из тех же соображений следует, что площадь сферы равна 4хгд. Обратите внимание, что диаметр сферы мы измерить не можем. При попытке сделать это мы будем вынуждены проникнуть внутрь Земли, где метрика (31.1) уже не верна. Вот почему для расчета линейного размера сферы мы пользовались внутренними измерениями. Аналогичная ситуация имеет место и для четырехмерного пространства-времени. При изучении четырехмерных пространств мы тоже будем иметь дело только с внутренней геометрией. Мы не станем обсуждать вопрос о том, погружено ли исследуемое пространство-время в некоторое пространство большего числа измерений.
Помимо измерений на поверхности сферы можно измерить и расстояние между двумя сферическими слоями г = const. Два слоя, имеющие радиусы г0 и г0 + Ar, соединяются вектором Аг(д/дг), длина которого в пределе при Ar— О дает расстояние Al между этими слоями. Воспользовавшись метрикой (31.1), мы получим
(Д/)2 = 9- (Дг?,.Дг?) = (і +^)(Дг)2, (31-11)
откуда с оговоренной нами степенью точности следует, что
д/=(і+^Дг. (31.12) 31. Пространство-время в окрестности Земли
261
Такой результат не может получиться в евклидовой геометрии. Так, две концентрические сферы с радиусами г0 и г0 + + Ar были бы расположены друг от друга на расстоянии Ar. Обнаруженное отклонение от евклидовой геометрии — это проявление кривизны пространства-времени. Следовательно, наши вычисления позволяют утверждать, что пространство-время в окрестности Земли искривлено.
Довольно большое число промежуточных шагов в предыдущем рассуждении могло бы создать впечатление, что кривизна пространства-времени — понятие в некотором смысле таинственное. Однако это не так. Повторим наши рассуждения, но уже в другой, более конкретной, форме. Представим себе такую ситуацию: некоторый наблюдатель, находящийся на мировой линии г = const, в = const и ф = const, посылает в момент события E во всех направлениях световые сигналы. Где окажутся эти сигналы спустя короткий промежуток собственного времени AtI Сначала рассмотрим только радиальное направление. В этом случае можно начертить двумерную диаграмму пространства-времени, которая и приведена на рис. 31.1. Для событий, близких к событию Е, координаты г и t образуют инерциальную, но не каноническую, систему отсчета. Отклонение от канонической системы отсчета определяется членами, линейными по (т/г). События, которые наш наблюдатель считает происшедшими одновременно, через промежуток времени At после E образуют единичный контур 1-формы
