Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
28.8. (29) Сделайте то же самое для кривой на рис. 28.2.
28.9. (40) Дисперсионное уравнение для волн на воде конечной глубины D имеет вид
w2 = gk th (kD).
Исследуйте его.
28.10. (23) Докажите, что асимптоты кривой на рис. 28.3 описываются уравнением
dw _ ш dk k'
28.11. (20) Каков смысл точки возврата кривой на рис. 28.3? Какой точке на рис. 28.2 она соответствует?
28.12. (34) Найдите векторное поле, генерирующее преобразования симметрии для волн на глубокой воде.
28.13. (36) Используя симметрию для волн на глубокой воде, докажите, что угол, который образует с направлением движения лодки остающийся за ней волновой след, не зависит от ее скорости. Для доказательства не нужно проводить вычисление этого угла. 29. Взаимодействие волновых пакетов
237
28.14. (36) Исследуйте симметрию волн, описываемых дисперсионным уравнением
ш = к-к3
из задачи 27.3.
28.15. (36) Исследуйте симметрию волн, описываемых дисперсионным уравнением
W2 = A3
из задачи 27.4.
28.16. (36) Исследуйте симметрию (если она есть) волн, описываемых дисперсионным уравнением
W = к(1 + ак?)
из задачи 27.5.
29. Взаимодействие волновых пакетов
Дисперсионное уравнение и ассоциированное с ним линейное дифференциальное уравнение в частных производных описывают движение заданного волнового пакета. Однако обычно существует какое-то взаимодействие волновых пакетов. Кроме того, должны существовать источники волн. Чтобы учесть и то и другое, дифференциальное уравнение в частных производных дополняют другими членами. Источники описываются линейными членами, взаимодействия — нелинейными. Оказывается, можно узнать удивительно много, рассматривая только геометрические аспекты взаимодействий и не вдаваясь больше ни в какие подробности. С аналогичной ситуацией мы встречаемся в оптике, где используются как закон преломления Снел-лиуса, так и уравнения Френеля, позволяющие получать более подробное описание амплитуды и поляризации световых волн. Опираясь на соответствующий геометрический подход, мы обобщим закон Снеллиуса на все волновые поля, получим обобщенный вариант спецрелятивистского закона сохранения 4-импульса и обсудим трудности, связанные с проблемой тахионов.
Простейший способ разрешить вопрос о возникновении вол- Задача с начальными значениями нового пакета — это не решать его вовсе, отодвинув момент возникновения пакета так далеко назад, чтобы этим процессом можно было пренебречь. Взамен мы воспользуемся известной информацией о волне в некоторый начальный момент времени и посмотрим, как она будет распространяться в дальнейшем. 238
Гл. III. Гравитация
t
к 2т-* *
Рис. 29.1
Градиенты фазы, удовлетворяющие дисперсионному уравнению для волн на воде.
Бескоординатный подход
Такая задача называется задачей с начальными значениями. Используемый в ней геометрический подход является общим для всех проблем, рассматриваемых в данном разделе. Чтобы описать состояние волнового пакета, необходимо задать градиент фазы. В случае двух измерений 1-форма градиента фазы должна удовлетворять двум условиям:
1) ее единичный контур должен касаться волновой диаграммы (другими словами, градиент фазы должен удовлетворять дисперсионному уравнению);
2) ее линии уровня должны располагаться в соответствии с начальными условиями.
На рис. 29.1 и 29.2 изображены волновые диаграммы для волн на воде, причем на рис. 29.1 градиент фазы удовлетворяет только первому условию, а на рис. 29.2 — только второму. На рис. 29.3 показано, как следует построить градиент фазы, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Наконец, на рис. 29.4 изображена пространственно-временная диаграмма последующей эволюции такого волнового пакета. В большинстве случаев волны распространяются как вправо, так и влево. Чтобы их различать, для полного описания волн требуется дополнительная информация, подобная заданию, скажем, значения производной дф / dt.
Эти начальные условия можно записать в бескоординатной форме, если воспользоваться операцией ограничения на поверхность, определенной в разд. 20. Начальные данные определяют структуру волны на некоторой поверхности. Поэтому мы должны выполнить операцию ограничения градиента фазы волны, согласующую его с градиентом начальной фазы, задан-
/ t
Л / А 2тг — X
Рис. 29.2
Градиенты фазы с определенной длиной волны.
Рис. 29.3
Градиент фазы, удовлетворяющий дисперсионному уравнению и обладающий определенной длиной волны. 29. Взаимодействие волновых пакетов
239
Рис. 29.4
Пространственно-временная диаграмма для конкретного волнового пакета, определенного на рис. 29.3. (Масштаб уменьшен.)
ной на этой поверхности. Градиенты должны иметь одинаковые величины и направления, но не обязательно одинаковые знаки.
Существует и другой подход к проблеме возникновения волновых пакетов: можно считать, что волна порождается некоторым устройством, которое взаимодействует с полем; будем называть такое устройство излучателем. Можно задать, например, частоту излучателя; при этом следует иметь в виду особенности каждого отдельного случая. У малого (по сравнению с длиной волны) излучателя отсутствует направленность, а его эволюция описывается единственной мировой линией. Любой излучатель взаимодействует лишь с теми волнами, которые все время находятся в фазе с его колебаниями. Другими словами, он связан только с теми волнами, градиенты фазы которых при их ограничении на мировую линию излучателя согласуются с его собственной частотой. Последнее утверждение не зависит от выбора координат и позволяет без особых дополнительных усилий решать задачи о распространении волн, создаваемых движущимся источником.
