Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Антенны
[Напомним, что дисперсионное уравнение и соответствующая ему волновая диаграмма дают полное описание волн, причем это описание имеет силу не только в тех координатах, в которых оно дано.] 240
Гл. III. Гравитация
Движущийся источник
[Эта ситуация подобна той, которая довольно часто возникает в общей теории относительности, где смысл тех или иных координат косвенным образом содержится в геометрических объектах, определенных на рассматриваемом пространстве. Таким объектом может быть, например, метрика.]
[Определение операции ограничения на подпространство см. в разд. 20.]
Пример 1
Пусть источник волн на воде движется вдоль пути S >-» (t,x,y) = (s,vs, 0)
(29.1)
и колеблется с частотой ш0, рассчитанной по отношению к параметру s. Из вида дисперсионного уравнения для волн на воде
W4 = к/ + к2
(29.2)
следует, что /, X и у — это уже знакомые нам координаты, связанные с системой отсчета, по отношению к которой вода покоится. Запишем формулу градиента фазы
de = wdt + kxdx + kydy,
(29.3)
Операция ограничения на траекторию источника сводится к выполнению отображения
t = s, X* = VS, У* = 0.
Принимая во внимание, что
dt* = ds, dx* = vds, dy* = 0;
de* = (to + vkx) ds.
(29.4)
получаем отсюда
(29.5)
(29.6)
Так как частота колебаний источника, рассчитанная по отношению к параметру s, равна ш0, должно выполняться равенство
to0t/i = (to + vkx) ds.
(29.7)
Эта ситуация изображена на рис. 29.5. Итак, в нашем распоряжении имеются два уравнения (29.2) и (29.7) для трех переменных, т.е. существует однопараметрическое семейство волн, испущенных в определенных направлениях.
Размеры излучателей в одном или двух измерениях могут достигать многих длин волн. Такие устройства, способные Концентрация излучения в пучок концентрировать излучение в пучки, обычно называются антен- 29. Взаимодействие волновых пакетов
241
Рис. 29.5
Волновая диаграмма (в одном пространственном и одном временном измерении) для волн на воде, испущенных движущимся периодическим источником.
нами. Например, радиоантенны одномерны и имеют большую длину, что, скажем, для вертикальных антенн позволяет избежать потерь энергии на излучение волн вверх. Наоборот, антенна радара двумерна и концентрирует излучение в узкий пучок, распространяющийся в каком-то одном направлении. При расчете таких антенн речь должна идти об операции ограничения на двух- и трехмерные гиперповерхности. Полученный таким путем градиент фазы волны должен согласовываться (с точностью до знака) с фазой, заданной на гиперповерхности. Для этого необходимо, чтобы наряду с дисперсионным уравнением выполнялись еще два или три уравнения. Следует отметить, что размеры источника могут иметь порядок многих длин волн во всех трех пространственных измерениях. В этом случае вообще могут существовать только волны, соответствующие определенной фазировке излучателя. Такая ситуация возникает, например, при дифракции рентгеновских лучей, а соответствующие условия называются уравнениями Лауэ.
Получить распределенный источник с правильно согласо- Отражение и преломление ванными фазами можно, возбудив элементарные излучатели падающим на него волновым пакетом. Простейший пример тому — отражение электромагнитной волны от зеркала. Падающая волна индуцирует в проводящей поверхности зеркала электрические токи, которые служат источниками отраженной волны. Подобное рассуждение применимо и к явлению преломления волны на поверхности раздела, где резко меняется величина показателя преломления. В обоих этих случаях можно извлечь важную информацию из требования согласованности фаз всевозможных волн на отражающей поверхности либо на поверхности раздела. Если а — градиент фазы падающей волны,
16-649 242
Гл. III. Гравитация
Движущийся отражатель
а ? — отраженной, то должно выполняться равенство
a*=?*, (29.8)
означающее, что ограничения величин а и ? на отражающую поверхность должны быть равны.
Пример 2
Волновой пакет, образованный волнами на воде, дисперсионное уравнение для которых имеет вид
^4 = ^2. (29.9)
падает на отражатель, движущийся вдоль мировой линии х = = vt. Найдем отраженную волну. Геометрия этой задачи в касательном пространстве представлена на рис. 29.6.
Пусть частота падающей волны U0 и ее волновое число к0 удовлетворяют дисперсионному уравнению, а мировая линия отражателя определяется отображением
и ь-* (Г, дг) = (и, vu).
(29.10)
Рис. 29.6
Геометрия в касательном пространстве для волн на воде, отраженных от подвижной границы. В данном случае v = 0,10, ш = 1,40, A0 = 1,97, U1 = 2 и A1 = 4. Обратите внимание на различие масштабов по осям координат.
Ограничения базисных 1-форм на эту мировую линию имеют вид 29. Взаимодействие волновых пакетов
(29.11)
dt* = du, dx* = V du,
так что ограничение градиента фазы падающей волны можно записать в форме
а* = (ш0 + Vk0) du.
(29.12)
В результате, принимая во внимание выражение для градиента фазы отраженной волны
