Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с описания волнового уравнения с помощью дис- Дисперсионное уравнение персионного уравнения. В случае двух измерений дисперсионное уравнение имеет вид
щение очевидно.]
При распространении пакета в среде, однородной как в пространстве, так и во времени, функция W не должна явно зави-
W(к, ш, X, Г)=0.
[Для простоты мы обсуждаем (27.1) только двумерный случай. Обоб-
См. примечание на стр. 149. — Прим. ред.214
Гл. III. Гравитация
сеть отхи(. Каждый высокочастотный волновой пакет всюду обладает волновым числом k(x,t) и частотой w(x,t), удовлетворяющими соотношению
W[k(x, /),»(*, 0]=0,
(27.2)
частные производные от которого по х и / также должны быть равны нулю. Эти производные можно найти с помощью цепного правила дифференцирования сложной функции:
dW дк | dWdu) = Q дк дх дш дх
(27.3)
dW дк dWdu>_Q дк dt дш dt
(27.4)
Напомним (см. стр. 155), что поскольку к и ш — компоненты градиента фазы, то
дк _ дш dt ~ дх'
(27.5)
Следовательно, уравнения (27.3) и (27.4) можно представить в виде
dW дк SWdk_ дк дх дш dt '
(27.6)
dW дш д!Удш_ дк дх dш dt
(27.7)
Групповая скорость Отсюда видно, что величины к и ш остаются постоянными в направлении вектора
[Повторите ту часть разд. 25, dW д dW d
где обсуждались ~rj- — + —— — »
dk дх дш dt
характеристики.]
который называется вектором групповой скорости.
(27.8)
Волны на воде
Пример 1
Для волн на глубокой воде выполняется соотношение
W(к, ш) = ш4 - к2 = 0, (27.9)
так что к и Oi постоянны в направлении
dt dx
(27.10)27. Распространение волновых пакетов
215
Ранее на стр. 155 мы нашли вектор групповой скорости для волн на глубокой воде:
Tx-H- (27Л1)
Обратите внимание, что эти векторы имеют одинаковые направления в пространстве-времени.
Групповая скорость, как она определялась до сих пор, — это лишь то направление в пространстве-времени, вдоль которого должны оставаться постоянными волновое число и частота. Длина же вектора групповой скорости остается неопределенной. Имеется несколько подходящих нормировок длины этого вектора. Одна из них сводится к требованию, что компонента д/(д() должна быть равна единице. Совершенно очевидно, однако, что тогда координата t становится выделенной. Существует также инвариантная нормировка Нормировка
dd-V= 1, (27.12)
где de — градиент фазы и у — вектор групповой скорости, изображенные на рис. 27.1. Если воспользоваться формулой (27.8) для определения направления вектора групповой скорости, а в качестве условия нормировки выбрать (27.12), то мы придем к соотношению
V =
dW д ^dWd дк дх дш dt
.dw L dw ¦
к—. Ь to— дк дш
(27.13)
Рис. 27.1.
Естественная нормировка вектора групповой скорости. Линии уровня 1-формы dB в 2т раз ближе друг к другу» чем гребни волны.
de216
Гл. III. Гравитация
Асимптоты Особый интерес представляет ситуация, когда знаменатель дроби (27.13) обращается в нуль. В этом случае дисперсия отсутствует и волны с различными частотами распространяются с одинаковой скоростью. Таким свойством обладают, например, световые волны. Однако волновые пакеты, представляющие наши частицы, ведут себя совершенно иначе.
Каждой паре величин к и ш, удовлетворяющих интересую-Волновая диаграмма щему нас дисперсионному уравнению, соответствует единственный вектор групповой скорости, описывающий распространение волнового пакета в пространстве-времени. Другими словами, каждой точке, удовлетворяющей дисперсионному уравнению, соответствует единственный касательный вектор. Таким образом, в касательном пространстве есть кривая, каждая точка которой соответствует дисперсионному уравнению.
[Продолжение примера 1.]
В случае волн на глубокой воде кривую, соответствующую дисперсионному уравнению, можно параметризовать с помощью волнового числа к:
de = V\k\ dt+ кdx. (27.14)
Каждому значению к соответствует вектор групповой скорости
V = -
Лор — - 7к— 4^ dt гКдх
4о)4 - 2к2 '
(27.15)
С помощью дисперсионного уравнения эту формулу можно упростить:
2 3 I а
V =
VfXf dt к дх'
(27.16)
В таком виде она описывает однопараметрическое семейство касательных векторов, определяемых дисперсионным уравнением.
При изображении систем векторов удобнее всего провести их из начала системы координат, а концам поставить в соответствие отдельные точки. Тогда каждый вектор будет изображаться точкой в касательном пространстве. В этом пространстве можно ввести координаты, которые мы договорим-X и і ся обозначать х и і. Соотношение
v = *-f + tT, (27-17)
дх dt27. Распространение волновых пакетов
217
показывает, как от координат (x,t) перейти к вектору v, а соотношение
dB = kdx + <odt (27.18)
показывает, как от координат к (волновое число) и ш (частота) перейти к 1-форме градиента фазы.
Наше однопараметрическое семейство векторов групповой скорости описывается уравнениями
1
J = -
V 1*1'
[Достаточно беглого взгляда на уравнения интегральных кривых в разд. 25, чтобы стало ясно, почему выбраны именно эти обозначения. Как легко обнаружит читатель, знакомый с ла-гранжевой механикой, это то же самое, что взять q и q в качестве независимых координат.]