Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бёрке У. -> "Пространство-время, геометрия, космология. " -> 73

Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.

Бёрке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): pronstranstvovremyageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 139 >> Следующая


Начнем с описания волнового уравнения с помощью дис- Дисперсионное уравнение персионного уравнения. В случае двух измерений дисперсионное уравнение имеет вид

щение очевидно.]

При распространении пакета в среде, однородной как в пространстве, так и во времени, функция W не должна явно зави-

W(к, ш, X, Г)=0.

[Для простоты мы обсуждаем (27.1) только двумерный случай. Обоб-

См. примечание на стр. 149. — Прим. ред. 214

Гл. III. Гравитация

сеть отхи(. Каждый высокочастотный волновой пакет всюду обладает волновым числом k(x,t) и частотой w(x,t), удовлетворяющими соотношению

W[k(x, /),»(*, 0]=0,

(27.2)

частные производные от которого по х и / также должны быть равны нулю. Эти производные можно найти с помощью цепного правила дифференцирования сложной функции:

dW дк | dWdu) = Q дк дх дш дх

(27.3)

dW дк dWdu>_Q дк dt дш dt

(27.4)

Напомним (см. стр. 155), что поскольку к и ш — компоненты градиента фазы, то

дк _ дш dt ~ дх'

(27.5)

Следовательно, уравнения (27.3) и (27.4) можно представить в виде

dW дк SWdk_ дк дх дш dt '

(27.6)

dW дш д!Удш_ дк дх dш dt

(27.7)

Групповая скорость Отсюда видно, что величины к и ш остаются постоянными в направлении вектора

[Повторите ту часть разд. 25, dW д dW d

где обсуждались ~rj- — + —— — »

dk дх дш dt

характеристики.]

который называется вектором групповой скорости.

(27.8)

Волны на воде

Пример 1

Для волн на глубокой воде выполняется соотношение

W(к, ш) = ш4 - к2 = 0, (27.9)

так что к и Oi постоянны в направлении

dt dx

(27.10) 27. Распространение волновых пакетов

215

Ранее на стр. 155 мы нашли вектор групповой скорости для волн на глубокой воде:

Tx-H- (27Л1)

Обратите внимание, что эти векторы имеют одинаковые направления в пространстве-времени.

Групповая скорость, как она определялась до сих пор, — это лишь то направление в пространстве-времени, вдоль которого должны оставаться постоянными волновое число и частота. Длина же вектора групповой скорости остается неопределенной. Имеется несколько подходящих нормировок длины этого вектора. Одна из них сводится к требованию, что компонента д/(д() должна быть равна единице. Совершенно очевидно, однако, что тогда координата t становится выделенной. Существует также инвариантная нормировка Нормировка

dd-V= 1, (27.12)

где de — градиент фазы и у — вектор групповой скорости, изображенные на рис. 27.1. Если воспользоваться формулой (27.8) для определения направления вектора групповой скорости, а в качестве условия нормировки выбрать (27.12), то мы придем к соотношению

V =

dW д ^dWd дк дх дш dt

.dw L dw ¦

к—. Ь to— дк дш

(27.13)

Рис. 27.1.

Естественная нормировка вектора групповой скорости. Линии уровня 1-формы dB в 2т раз ближе друг к другу» чем гребни волны.

de 216

Гл. III. Гравитация

Асимптоты Особый интерес представляет ситуация, когда знаменатель дроби (27.13) обращается в нуль. В этом случае дисперсия отсутствует и волны с различными частотами распространяются с одинаковой скоростью. Таким свойством обладают, например, световые волны. Однако волновые пакеты, представляющие наши частицы, ведут себя совершенно иначе.

Каждой паре величин к и ш, удовлетворяющих интересую-Волновая диаграмма щему нас дисперсионному уравнению, соответствует единственный вектор групповой скорости, описывающий распространение волнового пакета в пространстве-времени. Другими словами, каждой точке, удовлетворяющей дисперсионному уравнению, соответствует единственный касательный вектор. Таким образом, в касательном пространстве есть кривая, каждая точка которой соответствует дисперсионному уравнению.

[Продолжение примера 1.]

В случае волн на глубокой воде кривую, соответствующую дисперсионному уравнению, можно параметризовать с помощью волнового числа к:

de = V\k\ dt+ кdx. (27.14)

Каждому значению к соответствует вектор групповой скорости

V = -

Лор — - 7к— 4^ dt гКдх

4о)4 - 2к2 '

(27.15)

С помощью дисперсионного уравнения эту формулу можно упростить:

2 3 I а

V =

VfXf dt к дх'

(27.16)

В таком виде она описывает однопараметрическое семейство касательных векторов, определяемых дисперсионным уравнением.

При изображении систем векторов удобнее всего провести их из начала системы координат, а концам поставить в соответствие отдельные точки. Тогда каждый вектор будет изображаться точкой в касательном пространстве. В этом пространстве можно ввести координаты, которые мы договорим-X и і ся обозначать х и і. Соотношение

v = *-f + tT, (27-17)

дх dt 27. Распространение волновых пакетов

217

показывает, как от координат (x,t) перейти к вектору v, а соотношение

dB = kdx + <odt (27.18)

показывает, как от координат к (волновое число) и ш (частота) перейти к 1-форме градиента фазы.

Наше однопараметрическое семейство векторов групповой скорости описывается уравнениями

1

J = -

V 1*1'

[Достаточно беглого взгляда на уравнения интегральных кривых в разд. 25, чтобы стало ясно, почему выбраны именно эти обозначения. Как легко обнаружит читатель, знакомый с ла-гранжевой механикой, это то же самое, что взять q и q в качестве независимых координат.]
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 139 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed