Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
27.6. (19) Докажите, что для двумерной пространственно-временной диаграммы скорость волнового пакета равна дш/дк, а скорость распространения гребней волн равна ш/к.
28. Теория относительности и волны на воде
Теория распространения волн на поверхности воды обнаруживает поразительное сходство со специальной теорией относи- 224
Гл. III. Гравитация
[В этом и следующих разделах рассматриваются довольно интересные вопросы. Их обсуждение позволит вам набить руку в обращении с векторами, 1-форма-ми и волновыми диаграммами. Однако полученные результаты (разумеется, помимо приобретен ного опыта) не найдут в дальнейшем особых применений.]
[Краткое введение в теорию волн на воде можно найти в Фейнмановских лекциях по физике [11]. Более полно эти вопросы рассматриваются в книге Лайтхилла [20] и в статье Синга [38].]
Дисперсионные уравнения
[В действительности при использовании обычных единиц измерения дисперсионное уравнение имеет вид ы4 = J2Ar2.]
Рябь
тельности. Поэтому прежде чем переходить к обсуждению тяготения, мы, чтобы попрактиковаться в использовании волновой диаграммы, коснемся некоторых вопросов физики волн на воде. В результате выяснится, что волны на глубокой воде обладают симметрией, удивительно похожей на лоренц-инвариантность. Такой подход к релятивистской симметрии приведет нас не только к новой точке зрения на СТО, но и позволит овладеть навыками в выполнении расчетов. Кроме того, используемые нами обозначения позволяют самым естественным и очевидным образом переходить от одной системы координат к другой, тогда как этот вопрос обычно вызывает затруднения и в большинстве книг по тензорному анализу ему уделяется много внимания.
В теории волн на воде, описываемых дисперсионным уравнением
W4 = к2, (28.1)
не отражены многие свойства реальных волн. Эта теория учитывает лишь отношение между инерционными свойствами воды и гравитацией. В такой теории не принимается в расчет ни влияние дна, ни поверхностное натяжение. Кроме того, это линеаризованная теория, так что в ней не рассматривается ни взаимодействие, ни разрушение волн. При учете поверхностного натяжения дисперсионное уравнение принимает вид
сo4 = k2(g+-k2)2, (28.2)
P
где T — коэффициент поверхностного натяжения, а р — плотность. Пренебрегая не представляющими интереса постоянными, мы получаем дисперсионное уравнение
to4 = k2(\ + al?)2, (28.3)
которое описывает волны с учетом влияния поверхностного натяжения. При больших к инерция жидкости уравновешивается уже не силой тяжести, а самим поверхностным натяжением. Волны, описываемые уравнением (28.3), называются рябью. Рябь распространяется намного медленнее волн на глубокой воде и имеет малую длину волны. Мы воздержимся от сколько-нибудь детального описания ряби и представим их на волновой диаграмме в виде единственной вертикальной линии, как на рис. 28.1. Этот рисунок соответствует предельному случаю пренебрежимо малого коэффициента поверхностного натя- 28. Теория относительности и волны на воде 225
Рис. 28.2
Дисперсионное уравнение для волн на воде при учете поверхностного натяжения. Однако здесь не принято во внимание влияние дна, связанное с конечностью глубины слоя воды. Кривая построена для а = 0,01.
Рис. 28.3
Волновая диаграмма для дисперсионного уравнения, изображенного на рис. 28.2. Обратите внимание на множество дополнительных элементов, появившихся на этой волновой диаграмме.
жения. Точное дисперсионное уравнение показано на рис. 28.2, а соответствующая волновая диаграмма, которая, естественно, имеет более сложный вид,—на рис. 28.3. В дальнейшем мы будем использовать слегка модифицированную теорию волн на воде, которая учитывает волны ряби, но не рассматривает никаких особенностей их движения помимо того, что их групповая скорость принимается равной нулю.
Теперь перейдем к изучению теории волн на воде. Вообра- Наблюдения зите, что вы летите над поверхностью воды, скажем, в гондоле дирижабля и видите только поверхность воды и распространяющиеся по ней волны. Дирижабль движется над водой с неизменной скоростью. Тогда возникает ряд вопросов. Например: можно ли определить скорость дирижабля только путем наблюдений волн на воде? Интересно, что такая теория волн на воде оказывается удивительно похожей на СТО. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим наблюдателя в гондоле дирижабля с тех же позиций, с которых в гл. I рассматривался наблюдатель в пространстве-времени.
Начнем с обсуждения волновых пакетов, образованных волнами на воде. В нашей теории они будут играть роль «свобод- Свободные частицы ных частиц». (Думаю, что в аналогичной ситуации Синг не
15-649 226
Гл. III. Гравитация
стал бы возражать против названия «гидроны» для таких частиц.) Разумеется, подобные «частицы» нельзя считать ни точечными, ни обычными частицами, которыми оперирует ньютонова механика. А что можно сказать о часах? Подходя к вопросу с точки зрения наблюдателя, находящегося в гондоле дирижабля, мы можем выяснить, что в данном случае следует Часы понимать под встроенными часами. Это не должны быть обычные физические часы, использование которых могло бы лишь сбить с толку. Действительно, принцип действия наших часов должен быть связан с волнами на воде. Такими часами мы будем располагать, если станем следить за тем волновым пакетом, групповая скорость которого равна скорости дирижабля. Этот волновой пакет будет сопутствовать наблюдателю как единое целое. «Приготовить» такой пакет очень просто — достаточно бросить с дирижабля в воду какой-нибудь предмет и немного подождать. Через некоторое время волны, групповая скорость которых отличается от скорости наблюдателя, уйдут, а сопутствовать ему, естественно, будут лишь волны с групповой скоростью, совпадающей со скоростью дирижабля. Поскольку волны на воде испытывают дисперсию, гребни будут распространяться с иной скоростью, в данном случае превышающей групповую скорость. В результате вы увидите, что поверхность воды в любой точке, расположенной непосредственно под вами, совершает колебания вверх и вниз. Такие колебания и дают нам точное представление о том, что именно следует считать встроенными часами.
