Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
[Продолжение примера 1.]
(27.19)
Исключив параметр к, получим следующее неявное уравнение для множества векторов групповой скорости:
І2 + 4х = 0 (27.20)
для одной ветви дисперсионного соотношения и
I2 - 4х = 0 (27.21)
для другой ветви. Эти множества векторов изображены на рис. 27.2.
Рис. 27.2
Волновая диаграмма для волн иа глубокой воде.
В дальнейшем множество всех нормированных векторов групповой скорости окажется чрезвычайно полезным для нас инструментом. Хотя эта конструкция уже использовалась математиками в исследованиях по вариационному исчислению, она никогда прежде не применялась физиками для изучения диспергирующих волн. Назовем ее волновой диаграммой. Теперь продемонстрируем одно важное геометрическое соотношение, на котором, собственно, и зиждется полезность волновой диаграммы. 1-форма градиента фазы, соответствующая любому вектору групповой скорости, касательна к волновой диаграмме в точке, изображающей данный вектор. Указанная связь иллюстрируется рис. 27.3.
[См., например, [4].] Дуальность
[Продолжение примера 1.]
Волновая диаграмма для волн на глубокой воде, отражающая [Не забьівайтЄі чт0 в касатель.
упомянутую связь, изображена на рис. 27.4. Мы сразу ?ке ви- „ом пространстве есть единст-
дим, что волновой пакет движется медленнее (фактически в два венный нулевой вектор. Это
раза), чем гребни волны. На рис. 27.5 представлена диаграмма очень существенный момент в пространства-времени, на которой показан волновой пакет,
нашей диаграмме.] 218
Гл. III. Гравитация
Волновая диаграмма
Рис. 27.3
Установление связи между групповой скоростью и градиентом фазы с помощью волновой диаграммы.
Эти отрезки равны
Рис. 27.4
Градиент фазы и групповая скорость для волн на воде.
Рис. 27.5
Пространственно-временная диаграмма для волнового пакета, соответствующая волновой диаграмме на рис. 27.4. Масштаб 1:10 по отношению к предыдущему рисунку. Обратите внимание иа градиент фазы в центре диаграммы. Наклонные линии — гребни волн. На конечность размеров волнового пакета указывает ограниченная длина мировых линий этих гребней. См. рис. 19.6 и 19.7.
представленный на рис. 27.4.
[Это доказательство можно пропустить без серьезного ущерба для понимания дальнейшего материала.]
Чтобы показать, что линии уровня 1-формы de на самом деле касаются волновой диаграммы, рассмотрим вектор групповой скорости V и ассоциированный с ним градиент фазы dB. В силу нашего условия нормировки имеем
de-V = 1;
(27.22) 27. Распространение волновых пакетов
219
это означает, что единичный контур, связанный с 1-формой dd, проходит через конец вектора v. Рассмотрим близкий к исходному вектор групповой скорости V' и соответствующий ему градиент фазы dB', который можно записать в виде
de' = (к + Дк) dx + (ш + Аш) dt. (27.23) Новый вектор групповой скорости
v' = V + Av (27.24)
и 1-форма dd' должны удовлетворять соотношению
de' • v' = 1. (27.25)
Отсюда в пределе при Дк, Дш и Av, стремящихся к нулю, следует (после отбрасывания членов, квадратичных по приращениям)
(Akdx + Awdt) ¦ v +de-Av = 0.
(27.26)
Выпишем первый член из левой части этого- соотношения и подставим в него явное выражение для вектора v:
)
/. dW L bW
(kIk+
.. dW ^ . dW
t.bW , э»у
(27.27)
Градиент фазы de' должен удовлетворять дисперсионному уравнению
W(к +Ak, л> + Да>)= 0, (27.28)
откуда после разложения в ряд Тейлора получаем
W Al ,dW . п —j-Ak+-—Aft> = 0. дк дш
(27.29)
Таким образом, первый член в левой части соотношения (27.26) равен нулю, следовательно,
de-Av = 0.
(27.30)
Как нетрудно заметить, взглянув на рис. 27.6, это условие как раз и означает, что связанный с dd единичный контур касате-лен к волновой диаграмме.
Рис. 27.6 220
Гл. III. Гравитация
Волновая диаграмма очень полезна при решении различных задач теории диспергирующих волн. Она является обобшением гиперболы, возникающей в СТО для соответствующего волнового уравнения.
Гипербола СТО
Пример 2
Построим волновую диаграмму для уравнения
д2ф д2ф
dt2
дх'
+ ф = 0.
Теперь дисперсионное уравнение имеет вид
(27.31)
(27.32)
а нормированный вектор групповой скорости можно записать в форме
с,ItV д | dW д
_ дш dt дк дх _
U~ dW , , dW
ш---1- к~гт
дш ()к
О , О
ш-.--к-—
dt с) X
(27.33)
от
д
•J — ¦
Ot
к2
с)Х
Выражая вектор v через его компоненты і и х, получаем
(27.34)
.o,.c)
V = г— + х-, dt ох
(27.35)
і = to, X =-к:.
Следовательно, волновая диаграмма определяется уравнением W2-U)2=!. (27.36)
действительно задающим гиперболу.
Градиент фазы и вектор групповой скорости движущегося волнового пакета изображены на рис. 27.7. Обратите внимание на специфический наклон волновых фронтов по отношению к вектору групповой скорости. Это тот самый наклон, о кото- 27. Распространение волновых пакетов 221
Рис. 27.7
Градиент фазы и групповая скорость волнового пакета, который описывается обычным волновым уравнением.
