Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
[По этому поводу см. стр. 222.]
(34.32)
Тогда градиент фазы имеет вид dd
= ^= (2 dt -dx).
(34.33)
Так как мировая линия прямолинейна, а градиент фазы постоянен, в результате разбиения на малые отрезки и перехода к пределу ничего не изменится. Поэтому полное изменение фазы вдоль данной мировой линии, т.е. действие S, равно
= ^(4-1)-VJ.
Рис. 34.4
(34.34) 288
Гл. III. Гравитация
Фактически можно вычислить действие для какой угодно мировой линии, проходящей между любыми точками А и В.
Наименьшее действие Истинная мировая линия, вдоль которой распространяется волновой пакет, обладает тем свойством, что при ее малых вариациях действие остается неизменным. Сейчас мы дадим графическое обоснование последнего утверждения, ибо подробный расчет требует более сложной техники, чем та, которую мы сочли необходимой здесь развивать.
Рассмотрим два события и соединяющую их любую мировую линию. В каждой точке мировой линии можно построить градиент фазы, которым должен обладать волновой пакет, распространяющийся в данном направлении. Следовательно, в непосредственной окрестности этой линии можно начертить гребни волны. Если рассматриваемая мировая линия истинная, т.е. описывает историю волнового пакета, то локальные греб-Графическое построение ни можно построить, пользуясь принципом Гюйгенса. Чтобы перейти к действию, мы сначала упростим изображение исследуемой мировой линии, выполнив ряд соответствующих преобразований координат. Эта процедура совершенно аналогична линейным преобразованиям координат, которыми мы пользовались для упрощения задач в пространствах с геометриями Евклида и Минковского. Процесс упрощения показан на рис. 34.5. Вначале с помощью подходящего сдвига можно выпрямить мировую линию. Разумеется, в общем случае такой сдвиг не является линейной операцией. Выполнив дополнительные преобразования сдвига, можно добиться, чтобы все гребни 34. Геодезические
289
Правильное расположение
ч.
Vj
Неправильное расположение
Рис. 34.6
«Правильное» поведение близких волновых диаграмм; проведены также поверхности постоянной фазы.
Рис. 34.7
«Неправильное» поведение близких волновых диаграмм.
волны выглядели перпендикулярными мировой линии. Наконец, с помощью дифференциального растяжения вдоль мировой линии можно сделать так, чтобы гребни располагались на одинаковом расстоянии друг от друга. Все эти упрощения не обязательны. При небольшом навыке можно проследить весь ход
рассуждений, не прибегая к таким преобразованиям, но обычно Простое представление бывает полезно максимально упростить представление кривой.
На рис. 34.6 показаны часть мировой линии, градиенты фазы и относящиеся к делу волновые диаграммы. Здесь всюду предполагается, что пространство-время точно определено; следовательно, в каждой точке можно построить волновую диаграмму. Кроме того, на рисунке изображены волновые диаграммы, расположенные близко к мировой линии; как мы видим, эта мировая линия в самом деле удовлетворяет принципу Гюйгенса. На рис. 34.7 показана аналогичная мировая линия, но не удовлетворяющая названному принципу. На обоих рисунках волновые диаграммы, изображенные слева, касаются гребней волны, что объясняется нашим способом построения этих гребней. Но, согласно принципу Гюйгенса, близкие волновые диаграммы тоже должны касаться гребней волны. Последнее имеет место на рис. 34.6, но не на рис. 34.7. На каждом рисунке кружком выделен один пример касания или его отсутствия.
Теперь займемся малыми вариациями мировой линии: сме- Вариация мировой линии стим ее чуть-чуть в сторону и посмотрим, чему равно измене-
19-649 290
Гл. III. Гравитация
Изменения фазы на отрезках путей PQ и P' Q' совпадают с учетом членов, линейных по расстоянию PP'.
[Малые вариации волновых диаграмм уже использовались в разд. 33 при обсуждении падающего яблока.]
Кратчайшие линии
Рис. 34.9
Расхождение изменений фаз, линейно зависящих от вариации мировой линии.
Рис. 34.10
Идеализированная модель упругого стержня.
иие фазы, линейно зависящее от вариации. Для определенности выберем какой-нибудь короткий отрезок мировой линии, скажем заключенный между точками P и Q на рис. 34.8, и сдвинем его в сторону. Чтобы вычислить изменение фазы между точками P' и Q', нужно построить волновую диаграмму в точке P'. Если мировая линия удовлетворяет принципу Гюйгенса, то новая волновая диаграмма будет касаться старого гребня волны. Тогда с точностью до членов второго порядка малости изменение фазы между точками P' и Q' будет равно ее изменению между P и Q. Если же мировая линия не удовлетворяет этому принципу, как на рис. 34.9, то различие фаз, обусловленное вариацией, будет линейно по величине вариации. На рисунке показано также, что в два раза большему вариационному смещению соответствует удвоенная разность фаз. Само собой разумеется, что такого рода строгая линейность имеет место только при бесконечно малых смещениях мировой линии. Таким образом, действие на самом деле стационарно только для истинных мировых линий, что и предполагалось показать.
