Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
Подобный принцип наименьшего действия чрезвычайно полезен. С его помощью человек, знакомый с вариационным исчислением, может написать дифференциальные уравнения для мировых линий волновых пакетов, зная лишь суть поставленной задачи. Более того, принцип наименьшего действия дает интуитивное представление об этих мировых линиях как о кривых стационарной длины. Такие кривые называются геодезическими. Геодезические в пространстве-времени — это обычно линии наибольшего интервала времени (вспомним парадокс близнецов). Благодаря свойству экстремальности геодезические находят и много других приложений. На рис. 34.10 показана идеализированная модель упругого стержня. Сравнив рис. 34.10 с рис. 34.8 и 34.9, вы убедитесь, что состояния с минимальной энергией упругий стержень достигает только вдоль геодезической. Еще один пример. На рис. 34.11 изображена миниатюрная двухколесная тележка. Колеса жестко закреплены на оси, так что каждое должно проходить одно и то же расстояние. Тогда, если нет скольжения, тележка будет двигаться по поверхности вдоль геодезической.
ЗАДАЧИ
34.1. (14) Докажите, что уравнение геодезической можно рассматривать как «закон сохранения» дисперсионного уравнения. Другими словами, докажите, что дисперсионное уравнение дает одну константу движения. 35. Кривизна пространства-времени
291
34.2. (18) Предположим, что дисперсионное уравнение не зависит от какой-то определенной координаты. Покажите, что в этом случае возникает еще одна константа движения.
34.3. (30) Решите уравнения геодезической на евклидовой плоскости с метрикой
<& = dr' + r2d4>2, записанной в полярных координатах.
34.4. (15) Запишите уравнения геодезической для метрики
_ dx2 + dy2 У2
34.5. (33) Покажите, что геодезические в пространстве с метрикой из предыдущей задачи представляют собой окружности с центрами на оси х.
34.6. (15) Выпишите уравнения геодезической, как в примере на стр. 284, но для пространства с метрикой
& = R2(de2 +sin2 0d<l>2).
34.7. (22) Сделайте то же самое, что и в задаче 34.6, но для метрики
<&= R2(dx2 + sb2xd<l>1).
Рис. 34.11
Миниатюрная двухколесная тележка.
34.8. (37) Распространите условие задачи 31.5 на случай, когда необходимо учесть влияние Солнца и Луны. Не забывайте, что система координат, связанная с Землей, свободно падает на Солнце и Луну.
35. Кривизна пространства-времени
В качестве шага в развитии геометрии пространства-времени естественно обсудить поведение близких геодезических. Неевклидов характер их поведения свидетельствует о кривизне исследуемого пространства-времени. Для целей, которые мы преследуем в этой книге, вполне достаточно лишь интуитивного представления о кривизне. Чтобы научиться свободно обращаться с кривизной, необходимо овладеть сложным математическим аппаратом, затратив усилия, которые оправданы для учебника по ОТО, но не здесь. Мы и так уже рискнули уделить математике слишком большое внимание. Предлагаемое ниже краткое обсуждение кривизны поможет вам уяснить смысл
19* 292
Гл. III. Гравитация
Геодезический квадрат
[В искривленном пространстве-времени такая конструкция не может быть настоящим квадратом — и в этом вся суть, — но мне не хочется называть его геодезическим псевдоквадратом. Не могу я согласиться и с теми, кто будет настаивать, что здесь в действительности обсуждался прямоугольник.]
[Для доказательства отсутствия продольного кручения достаточно приложить два стержня друг к другу боковыми сторонами.]
уравнений Эйнштейна. Однако вам придется принять на веру, что из них могут быть получены уравнения Фридмана, описывающие динамику стандартных космологических моделей.
Можно рассматривать как пространственноподобные, так и времениподобные геодезические. В стационарном пространстве-времени пространственные геодезические описывают форму прямых стержней. Пожалуй, лучшее описание кривизны пространства-времени, которое можно предложить, основано на представлении о конструкции из прямых стержней, которую договоримся называть геодезическим квадратом.
Важно понимать, что существует способ операционального определения прямого стержня. Для этого в дополнение к стержню нужно подобрать калибр с точно подогнанным под стержень прямым глубоким отверстием (рис. 35.1). Тогда, если стержень плотно входит в отверстие при всех восьми возможных ориентациях, мы будем называть его прямым. Следует отметить, что поперечное сечение должно быть квадратным и должно отсутствовать продольное кручение стержня.
Рис. 35.1
Калибр для проверки прямого стержня.
Рис. 35.2
Геодезический квадрат.
Перекошенный квадрат Теперь возьмем четыре таких прямых стержня одинаковой
длины и попытаемся построить из них квадрат, как на 35. Кривизна пространства-времени
293
рис. 35.2. Чуть выше уже отмечалось, что, вопреки надеждам, навеянным евклидовой геометрией, квадрат в общем случае будет разомкнутым. Кроме того, его концы будут повернуты по отношению друг к другу. Такое устройство очень удобно для измерения кривизны пространства-времени.
