Пространство-время, геометрия, космология. - Бёрке У.
Скачать (прямая ссылка):
[Продолжение примера 1.]
В данной задаче мы оперируем локально-евклидовым типом метрики, из чего следует необходимость изменения знака v. Теперь нужно пользоваться уравнениями dXa
ds = 8a?P?'
dp* _ 1 dg«-* ds 2dx"P?Py>
которые в исследуемом здесь случае примут вид
dk__l_ ds R2'
(34.20)
(34.21)
(34.22) 34. Геодезические
285
d<f> п ds R2 Cos2X'
dl ds
n2 sin X R2 cos» X'
dn ds
= 0.
(34.23)
(34.24)
(34.25)
Это четыре обыкновенных дифференциальных уравнения для четырех неизвестных.
Пусть мы хотим найти геодезическую, которая начинается в точке (X0, ф0) я идет в таком направлении, что
fs (0)=0.
(34.26)
Для решения полученной системы уравнений нужно располагать также начальными значениями величин / и п. Из первого уравнения следует, что
/о = 0, (34.27)
а из дисперсионного уравнения имеем п0 = R cos X0.
(34.28)
С помощью этих начальных значений теперь можно найти решения уравнений (34.22)—(34.25), а следовательно, и геодезические на поверхности сферы.
Распространяя только что описанную процедуру на уравнения (34.18), (34.19), можно найти траектории свободных частиц в любом пространстве-времени, если, конечно, удастся решить окончательную систему дифференциальных уравнений. С геометрической точки зрения на полученные нами восемь дифференциальных уравнений первого порядка можно смотреть как на векторное поле в восьмимерном пространстве с полным набором обобщенных координат q и р. Это весьма плодотворный подход, но его обсуждение увело бы нас слишком далеко от преследуемой цели.
Описывать динамику волновых пакетов можно также на основе принципа минимума. Тем, кто изучал классическую механику, этот принцип должен быть знаком. (Если вы прежде не сталкивались с ним, то достаточно беглого знакомства со следующими ниже рассуждениями.) Принципы минимума играют в физике очень важную роль и, несомненно, заслуживают изучения.
[Мы продолжим изучение этих дифференциальных уравнений в следующем разделе, когда приступим к обсуждению кривизны сферической поверхности.]
Уравнения геодезической
[Если вы знакомы с классической механикой, то узнаете в них уравнения Гамильтона. К тому же вы обнаружите здесь истолкование канонических импульсов, которые обычно предстают как нечто абстрактное. В рамках нашего геометрического подхода они являются компонентами градиента фазы волнового пакета.] 286
Гл. III. Гравитация
Принципы минимума
[Вернее их следовало бы называть принципами экстремума, поскольку они относятся не только к минимальным, ио и к максимальным и стационарным значениям. Однако по историческим причинам их все же часто называют принципами минимума.]
Принципы минимума позволяют получить простые и эффективные формулировки физических законов. В качестве простого примера можно привести следующее утверждение: статическое равновесие частицы достигается в точках экстремума (т.е. там, где исчезают первые производные) потенциальной энергии. Все дело в том, что малые смещения системы в произвольном направлении от этих точек приводят, как показано на рис. 34.1, лишь к изменениям второго порядка малости в потенциальной энергии.
Динамика диспергирующих волновых пакетов не представляет исключения, ее вполне можно описать с помощью принципа минимума. На рис. 34.2 изображена мировая линия такого волнового пакета. В любой точке этой кривой можно построить 1-форму градиента фазы. Полное изменение фазы волнового пакета вдоль заданной мировой линии можно найти простым сложением всех изменений, претерпеваемых фазой вдоль этой линии. Такое полное изменение фазы называется
Рис. 34.1
В каждой из точек А, В и С достигается экстремум функции V(x), но лишь точке А соответствует состояние устойчивого равновесия.
Градиент фазы
Отрезок пути
Рис. 34.2
Вычисление действия вдоль заданной кривой.
Рис. 34.3
Изменение фазы на коротком отрезке мировой линии и. Показанное здесь изменение фазы равно 1/2. 34. Геодезические
287
действием и может быть вычислено следующим образом. Мысленно разобьем мировую линию на множество маленьких отрезков, каждый из которых будем считать прямой линией. Предположим, что эта процедура разбиения продолжается до бесконечности. Как найти изменение фазы вдоль одного из отрезков? В пределе любой такой отрезок можно рассматривать как вектор; назовем его и. Схематически ситуация представлена на рис. 34.3. Изменение фазы вдоль короткого отрезка мировой линии равно
Ав = dd- и. (34.29)
Пример 2
Рассчитаем изменение фазы вдоль прямолинейной мировой линии между точками (0, 0) и (/, х) = (2, 1) в случае, когда волновая диаграмма имеет вид
Ї2 - & = 1 (34.30)
(рис. 34.4). Градиент фазы в каждой точке этой мировой линии определяется с помощью метрики Минковского Jf по формуле
dd = -Jf-v, (34.31)
где V — групповая 4-скорость. Вектор v должен быть параллелен мировой линии; кроме того, его компоненты должны удовлетворять соотношению (34.30). Из названных условий следует, что
Действие
1 (д
[Еще раз обратите внимание на различие между de, т.е. 1-формой d$, и Дв — малым изменением фазы Є.]
