Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(13.14) (13.15)
тогда компоненты тензора Opi, будут равны O4j = O,
+ ? И* (M' - V) + і (Я' - V')} в"' (ьь - U
Рассмотрим сначала гравитационное поле в пустоте, где удовлетворяются уравнения (12.4). Нужно решить следующие три уравнения для двух неизвестных:
V'—i(l_ev) = 0,
vT + ^V-' (V-' - V) ¦+ 7 (m' - V)=0.
(13.16)
Эти три уравнения не независимы, так как они должны удовлетворять свернутым тождествам Бьянки (11.46).
Из первого и второго уравнений видно, что сумма jt* и V' равна нулю:
Ji' + v' = 0. (13.17)
Решим первое уравнение относительно V. Для этого введем величину X:
х = е—, V= — Iogx (13.18)
Тогда вместо первого уравнения (13.16) получим уравнение для X:
йх і X — 1
dr
:0, решением которого будет
7, V = — Iog^l-у),
D--
______(13.19)
где а — постоянная интегрирования. В силу (13.17) функция может быть представлена в виде:
(13.20)
M = log(l-7)+ Р.
где P — новая постоянная. Решения (13.19) и (13.20) удовлетворяют и третьему уравнению (13.16). Таким образом,
для компонент метрического тензора находим: ^=0.
1-
Г
ZrZi
(13.21)
rs г_а XrX?'
При больших г компоненты метрического тензора должны стремиться к значениям е v уравнения (12.7). Для этого необходимо положить ? равной нулю. Оставшаяся постоянная а должна характеризовать массу частицы, образующей поле (13.21).
Согласно (12.13) ньютоновский потенциал, создаваемый точечной массой поля (13.21), равен
(13.22) ем
(13.23)
_ 1 а
о=-1т.
С другой стороны, О связано с массой уравнением
У.ГП
G = --
Г '
откуда находим связь постоянной а с массой /га:
а = 2 хт.
(13.24) Гравитационное поле точечной шссы поэтому дается выражениями
^ = 0.
Srs — —°rs ~~r_2xm3Mk*
J
Это решение было получено Шварцшильдом').
Решение Шварцшильда замечательно тем, что оно представляет собой единственное статическое сферически симметричное решение уравнений поля в пустоте, переходящее в плоскую метрику на бесконечности. Остальные решения уравнений поля в пустоте, обладающие теми же свойствами» получаются из решения Шварцшильда путем преобразования координат. Более того, Биркгоффом2) было показано, что все сферически симметричные решения уравнений поля в пустоте, удовлетворяющие граничным условиям на бесконечности, эквивалентны полю Шварцшильда, т. е. что их зависимость от времени может быть исключена подходящим преобразованием координат.
Пусть ограниченная область пространства заполнена материей, создающей сферически симметричную метрику. Тогда согласно сказанному выше гравитационное поле вне области, занятой материей, должно быть полем Шварцшильда. Создающая поле материя может даже пульсировать (сферически симметрично), не меняя поля вне ее. При этом, конечно, предполагается, что нет потока материи или электромагнитного излучения из области, занятой материей, наружу.
Особенность решения Шварцшильда. Решение (13.23) классических уравнений поля (10.7) имеет особую точку г = 0. Поле Шварцшильда имеет аналогичную особенность
(13.25)
1) Berl. Ber., 1916, р. 189.
2) Birkhoff, Relativity and Modern Physics, Harvard University Press, 1923, p. 253. в той же точке. Кроме того, оно имеет сферическую поверхность особых точек r = 2xm. На этой поверхности компонента git равна нулю, а некоторые из пространственных компонент обращаются в бесконечность.
Робертсон показал, что если бы пробное тело двигалось в поле Шварцшильда к центру, собственное время, необходимое для пересечения „особенности Шварцшильда", было бы конечно, хотя координатное время при этом обращается в бесконечность. Отсюда он заключил, что, по крайней мере частично, особый характер поверхности T=Iatm обусловлен выбором системы координат.
В действительности, масса никогда не может так сконцентрироваться, чтобы особая поверхность Шварцшильда оказалась в пустоте. Эйнштейн исследовал поле системы многих точечных масс, каждая из которых движется под действием поля всей системы по окружности T=CODSt.1). Если предположить, что оси этих окружностей ориентированы беспорядочно, система в целом будет сферически симметрична. Целью исследования было определить, могут ли частицы сконцентрироваться столь близко от центра, чтобы в полном поле обнаруживалась особенность Шварцшильда. Исследование показало, что еще перед тем, как достигается критическая концентрация частиц, некоторые (наружные) частицы начинают двигаться со скоростью света, т. е. вдоль нулевой мировой линии. Поэтому невозможно так сконцентрировать частицы системы, чтобы в поле возникла особенность. (Особенности, обусловленные каждой отдельной точечной массой, при этом, конечно, не рассматриваются.)
При таком подходе Эйнштейну не пришлось рассматривать термодинамических вопросов или вводить давление, так как частицы его системы не испытывают соударений, л траектории их точно известны. В этом отношении система Эйнштейна имеет свойства, не встречающиёся в природе. Тем не менее, естественно предположить, что
1) Annals of Mathematics, 40, 922 (1939). результаты Эйнштейна могут быть обобщены и на такие системы частиц, в которых движение каждой частицы не ограничивается искусственно, как в разобранном примере.
