Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(12.11)
Символы Кристоффеля [ix,а] будут малыми величинами первого порядка относительно ),. Пренебрегая величинами высших порядков, заменим gf на ?f. Далее, пока скорости малы по сравнению с с, можно пренебречь членами, содержащими U1 в качестве множителей, a Ui — считать равным единице. Тогда (12.11) заменится приближенным уравнением
^ _ [44, j]--і tn (2Afcj4 - A41,,). (12.12)
Наконец, если поле медленно меняется во времени — это соответствует тому, что образующие поле точечные массы движутся с небольшими скоростями, — можно пренебречь производными по ?4, которые малы по сравнению с производными по пространственным координатам Тогда для первых трех уравнений (12.12) получим:
ж —
Сравнивая это уравнение с классическим выражением
для силы (10.5), увидим, что -Xhii играет роль ньюто-
1 і
новского гравитационного потенциала. Это обстоятельство поможет нам в дальнейшем интерпретировать решения уравнений поля.
Перейдем теперь к нахождению линейного приближения для уравнений поля. Ограничиваясь линейными выражениями, можно значительно упростить вид этих уравнений. (12.14)
В тензоре
можно пренебречь всеми членами, не линейными относительно Auv Это относится ко всем членам, не линейным 1R
относительно символов Кристоффеля; в оставшихся членах все непродифференцированные g^ и g*4 заменим на е и в**. Тогда получим „линеаризованные" выражения
0V ~ \ [jw+єРв (fat*—~~h^ ~~
A = S^A . г г
(12.15)
Выражение (12.15) может быть несколько упрощено введением обозначений
— Aliv 2 S1111A,
^jiV Tj-i 2 6^j'
(12.16)
Выражая линеаризованные O11., через Yj.,> получим cV ^ (Spl^vjp---^jk + SlivSP^p,,),
(12.17) При решении уравнений поля (12.3) и (12.4) еще остаются значительные трудности, так как каждая линеаризованная компонента О (12.17) зависит от нескольких компонент Yjiv, и поэтому десять уравнений поля должны
решаться одновременно. Однако задачу можно значительно упростить благодаря возможности введения координатных условий. Мы покажем, что всегда возможно произвести такое преобразование координат, в результате которого выражение O11 обращается в нуль.
Рассмотрим преобразования координат вида
Pm = E--J-JW(Sp). (12.18)
при которых изменение значений координат пропорционально параметру X- Обратными преобразованиями с точностью до величин первого порядка относительно X будут:
g. _ _ (Гр) ^ _ X®« (5*Р). (12.19)
Компоненты метрического тензора (12.8) в том же приближении преобразуются по следующему закону: *
- (К - Хг>» (Sv - IvU (?a? + X/?) - , ^ jT I (A114 — K-P,^ — ЧУ.Л
>
Отсюда получаем закон преобразования h :
і
= ^v — Sav^v — ч v°<*-
Yliv преобразуются следующим образом:
Y^ = Yu., — — -f ElivWpf,.,
(12.20)
(12.20а)
(12.21) а выражения в^ согласно закону
<С=о,,—^vW=<v— ^vl
(12.22)
Все эти соотношения справедливы с точностью до членов первого порядка относительно
Система координат, в которой Jfl равны нулю, получается в результате преобразования координат (12.18) с V, удовлетворяющими следующим дифференциальным уравнениям
Эти уравнения, дифференциальные уравнения Пуассона в четырех измерениях, всегда имеют решения.
В линейном приближении уравнения поля заменяются уравнениями
Таким образом, мы добились разделения переменных в дифференциальных уравнениях второго порядка, благодаря чему рассмотрение их решений сильно упрощается.
Решение линеаризованных уравнений поля. Рассмотрим сначала статические решения уравнений поля, т. е. решения, не зависящие от S4. Предполагая, что переменные поля зависят только от трех координат Sj, линеаризованные уравнения приводятся к виду
(12.23)
и
(12.3а)
(12.4а)
(12.24) ^v = O1
W = O. (12.25,
і [i^ ,j
Обычно компонента Pii = Pi*== р велика по сравнению с остальными компонентами тензора P . Поэтому рассмотрим следующий случай:
— іУ«у44 + 2вр=0,
vaYiu-O, J, (12.26)
,W = 0-
Эти уравнения могут быть решены в предположении что из всех величин Yjiv только компонента J 44 -отлична от
нуля. Y44 удовлетворяет уравнению Пуассона в трех измерениях. Решение представляется интегралом
л /х « f P (г') aV
^W=-SJ [fZTF] • (12.27)
V'
Мы уже видели, что величина XA4. должна играть
1 і
роль классического гравитационного потенциала О, входящего в уравнения (10.5) и (10.7). Так как из всех у
і
только Y44 отлична от нуля, для A44 получаем выражение
*44 = Y44-Y^41Ym = I Y(12-28) і і А і л і
Отсюда видно, что A44 удовлетворяет дифференциальному і
уравнению
— 2Y*A4t + ap = 0. (12.29) Сравнивая это уравнение с уравнением (10.7), найдем, что постоянная а равна
а = 8тгх. (12.30)
Теория гравитации, в которой материя рассматривается как сплошная среда, остается неполной, пока неизвестно уравнение состояния среды. Если материя настолько разрежена, что не существует взаимодействия между соседними элементами объема, тензор Р" можно заменить через
где Uil удовлетворяет уравнению (12.1), а изменение р определяется законами сохранения
