Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
При добавлении к десяти ковариантным уравнениям поля четырех координатных условий получается система из четырнадцати уравнений, имеющая то же множество неэквивалентных решений, что и система десяти уравнений поля, взятая отдельно, но с меньшим числом формально различных решений.
Четырнадцать полностью независимых уравнений для десяти переменных имели бы слишком мало решений. Эти решения соответствуют либо плоской метрике, либо, в лучшем случае, они определяют значительно меньшее количество действительно различных состояний, чем то, которое можно получить, допуская произвольное распределение материи в пространстве. Поэтому, кроме четырнадцати уравнений, g должны удовлетворять четырем тождествам.
Четыре координатные условия являются в значительной степени произвольными. Они могут быть любыми некова-риантными уравнениями, содержащими g которые можно удовлетворить любой метрикой после соответствующего выбора системы координат. Так как выбор конкретных координатных условий не влияет на характер решений, необходимо, чтобы тождества содержали только ковариантные уравнения поля и чтобы они были независимы от координатных условий.
Предыдущие рассуждении показывают, что десять уравнений поля в силу их ковариантности должны удовлетворять четырем тождествам. Однако до сих пор мы еще ничего не знаем о форме самих уравнений и природе соответствующих им тождеств. Чтобы решить эти вопросы, используем свойства тензора P^. Если рассматривать материю как сплошную среду, правыми частями уравнений гравитационного поля будут величины P1", подобно тому, как компоненты мирового вектора тока образуют правые части уравнений Максвелла. Аналогично тому, что закон сохранения электрического заряда выражается уравнением
Закон сохранения энергии и импульса может быть выражен уравнением
P^v = O. (12.2)
Поэтому можно ожидать, что десять величин, стоящих в левых частях уравнений поля, являются компонентами симметричного тензора второго ранга, а четыре тождества имеют вид дивергенций.
Уравнения поля. В главе XI мы встречались с тензорными выражениями, обладающими подобными свойствами. Таковым является тензор Gf4, определенный с помощью (11.47). Можно показать, что не существует другого тензора, десять компонент которого зависели бы только от g , а его дивергенция тождественно обращалась бы в нуль1). Поэтому уравнения гравитационного поля мы запишем в следующем виде:
Gj' -f a P^ = 0, G^ = Rf—(12.3)
1J Конечно, кроме самого тензора g^. (Прим. ред.) где материя представляется тензором P1". Если же материя представляется точечными массами, уравнения гравитационного поля вне точечных масс будут иметь вид
G^ = O
(12.4)
однако они перестают быть справедливыми в местах расположения точечных масс. Постоянная а в уравнениях (12.3) будет определена ниже.
Уравнения поля (12.4) удовлетворяют тождествам
в силу чего уравнения (12.2) являются непосредственным следствием уравнений (12.3):
Линейное приближение и нормальные координатные условия. Полученные уравнения поля и законы движения в гравитационном поле нелинейны относительно переменных поля g . Однако известно, что линейная теория — теория Ньютона — с большой степенью точности описывает движение тел под действием сил. Поэтому необходимо предположить, что гравитационные поля (т. е. отклонение истинной метрики от плоской), с которыми мы встречаемся, например, в небесной механике, настолько слабы, что нелинейный характер уравнений поля ведет лишь к эффектам второго порядка. В метрической системе единиц, которой обычно пользуются при измерениях, наблюдаемые в природе гравитационные ускорения—порядка единицы, в то время как скорость света с — весьма большая величина. В теории гравитации удобно пользоваться другими единицами, в которых скорость света равна не 3.101°, а 1. Сохраним сантиметр в качестве единицы длины, а за единицу времени и собственного времени выберем величину, в 3.101° раз
Gw =0.
(12.5)
0 = (О» -f а Р«);р = а Pw.(
(12.6) меньшую, чем секунда. В этих единицах метрический тензор плоской метрики имеет компоненты:
/ — 1, 0, 0, 0 \ и
-1, ° (12.7)
,я ) О, O1 -1, о { '
I 0, 0, о, +1 J
То обстоятельство, что скорости большинства материальных тел малы по сравнению со скоростью света, в новых единицах выражается в том, что U1, пространственные компоненты Uf, малы в сравнении с единицей.
Предположим, что, используя новые единицы времени, можно ввести такие системы координат, в которых компоненты метрического тензора разлагаются в ряды
= + р,+ + 02.8)
где параметром разложения является малая постоянная
Контравариантный метрический тензор имеет в этом случае компоненты
g*> = ?Р* -f- Ihf + ItM' -f..., Sp3==V > 02.9)
AP'= — ?Р«?»Р /7вр.
Детерминант метрического тензора равен
g= I g?, I = - (1 -f ЛVht, + ...). (12.10)
і) В дальнейшем через е0, всегда будут обозначаться компоненты метрического тензора плоского пространства, выраженные в новых единицах времени, обозначение же т|рэ мы сохраним для тех случаев, когда будут использоваться обычные метрические единицы. Перейдем к рассмотрению уравнений движения. Они записываются в виде:
