Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
J V^tfuWlJK
может быть преобразован в интеграл по граничной поверхности; этот интеграл равен нулю в силу того, что вариация
^ {Jiv [ исчезает на ece^ граничной поверхности.
Остается второй интеграл уравнения (12.46). д (К— g gV4) равно просто выражению:
*(Kzr^1") = V~g(bg*» — ; (12.52)
что после умножения на R дает
RJ (V=Sf?") = V~g (/?„ - J gv?) * gv" =
= V~gGJg^\ (12.53)
Отсюда для вариации / получаем выражение:
Ь j R !/"=TidS= J GJg^ (12.54)
Таким образом, уравнения (12.4) являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для принципа Гамильтона (12.43).
Наличие одновременно гравитационного и электромагнитного поля. До сих пор гравитационные поля рассматривались в отсутствии электромагнитных полей. При наличии электромагнитного поля уравнения комбинированного поля можно получить, заменяя P** в уравнениях (12.3) выражениями (8.31). В этом случае имеем:
- ? (2^/. -1 = о,'
р = О.
(12.55)
Эти уравнения поля являются уравнениями Эйлера-Лагранжа, соответствующими интегралу
/= J ^zrS - (12.56)
который варьируется по 14 переменным if И Ipil.
Уравнения движения заряженных точечных масс имеют
вид
dlP-dt
¦ + {р= <12-57>
Законы сохранения в общей теории относительности1)»
Тензор энергии-импульса Pv* представляет в уравнениях (12.3) плотности энергии и импульса и напряжения среды, исключая энергию, импульс и напряжения гравитационного поля. Он удовлетворяет уравнению непрерывности
Pwp = O. (12.58)
Эти уравнения ковариантны, они преобразуются как компоненты вектора. Именно поэтому они не могут быть названы законами сохранения в обычном смысле слова. В обычном законе сохранения изменение во времени некоторого пространственного трехмерного интеграла определяется поверхностным интегралом другого выражения, представляющим поток через поверхность, ограничивающую трехмерный
і) В этом разделе рассматривается понятие переноса энергии, в общей теории относительности. Поскольку понятия энергии и импульса не играют существенной роли в общей теории относительности, читатель может опустить этот раздел без ущерба для понимания последующих глав. объем. Другими словами, истинный закон сохранения имеет вид:
dt і
PdS1^dS3) = — § (F -dS),
или после применения к поверхностному интегралу теоремы Гаусса:
div F J = о, pu-j-fjj = o. (12.59)
И
В общей теории относительности закон сохранения электрического заряда имеет такую форму:
(K=T^P)j №== о, (12.60)
-а выражения ^ (У — g ір4і>)г pd?, j (V— gflp),
и т. д. представляют собой заряд, содержащийся в объеме V, ток через поверхность, параллельную плоскости (X2, X3), и т. д.
В то время как ковариантная дивергенция вектора эквивалентна обычной дивергенции векторной плотности, ковариантная дивергенция симметричного тензора второго ранга не эквивалентна обычной дивергенции соответствующей тензорной плотности. Однако можно найти четыре выражения, удовлетворяющие четырем обычным законам сохранения и не являющихся при этом компонентами тензора.
Уравнения
<5ез последнего члена имеют вид четырех законов сохранения. Покажем теперь, что последний член ^—У— g | ^j-Pp^ может быть представлен в виде обычной дивергенции.
(12.61) Прежде всего, в силу уравнений поля (12.3), Pt можно 1
заменить через — — Op*. Далее рассмотрим выражение
-j-V—g{jJv}^'' содеРжащее только^, и его производные. Заменяя символ Кристоффеля производными метрического тензора, получим:
v~g {PvJ оР:=v~g tu* р] о^=
= jV~gg4f,^. (12.62)
Для доказательства того, что последнее выражение есть обычная дивергенция 16 величин, используем тот факт, что выражения У — g G^ являются левыми частями уравнений Эйлера-Лагранжа вариационного принципа.
Сперва покажем, что существует вариационный интеграл, который содержит только первые производные метрического тензора и приводит к тем же уравнениям Эйлера-Лагранжа, что и интеграл (12.43).
Прибавление к подинтегральной функции R V — g (обычнрй) дивергенции ведет к тому, что к интегралу (12.43) прибавляется выражение, которое с помощью теоремы Гаусса может быть записано в виде поверхностного интеграла. При таком варьировании подинтегрального выражения, когда вариации переменных и их производных исчезают на границах, добавочный член, обусловленный дивергенцией, остается неизменным. Поэтому уравнения Эйлера-Лагранжа не меняются при прибавлении дивергенции к —gR) в уравнении (12.43).
Рассмотрим теперь интеграл (12.45). Первые два члена могут быть преобразованы следующим образом:
- Wl- (^Ш) -
- (^rt Ш+Ш-
(12.63) Первые два члена правой части имеют вид дивергенции. В силу сказанного выше уравнения Эйлера-Лагранжа останутся неизменными, если вычесть эти члены из ((/^ —g R). В оставшихся членах заменим всюду производные метрического тензора символами Кристоффеля согласно формуле
:[pp,v] + [vp,|i]. (12.64)
Si
IlV.p-
Комбинируя их с остальными членами подинтегрального выражения (12.45), получим уравнение:
$/ = 3W, W=J^dS,
(12.65)
Функция .?) не является, конечно, скалярной плотностью, a W не инвариантно относительно преобразования координат. Однако уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие интегралу W, ковариантны. Рассматривая $$ как функцию g^ и для Oliv получим:
