Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
і) .On Gravitational Waves", Journal Franklin Inst., 223, 43 (1937).
*) Понятие энергии в общей теории относительности будет рассмотрено в конце этой главы. увеличиваться до бесконечности во всех направлениях. Цилиндрические волны обладают особенностями на оси симметрии, и существуют решения, при которых с бесконечным возрастанием р (в эвклидовом пространстве р означает расстояние от оси) амплитуда волны стремится к нулю, а амплитуда стационарного поля — к бесконечности.
Таким образом, в результате рассмотрения ,линеаризованных' уравнений поля релятивистской теории гравитации, мы убедились, что, кроме решений, соответствующих ньютоновским полям, существуют решения, не имеющие аналогов в классической теории; это гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью света. После того как мы установили, что классическая теория гравитации является апроксимацией решений релятивистских уравнений, перейдем к рассмотрению формальных свойств этих релятивистских уравнений поля.
Вариационный принцип. Классические уравнения поля (10.7) могут рассматриваться, как уравнения Эйлера-Лагранжа вариационной задачи (или принципа Гамильтона)
Ь ^(grad G)2dV =0, (12.40)
где интеграл распространяется по всему трехмерному объему V; вариация G произвольна внутри области интегрирования V и исчезает на ее границах. Вариацию интеграла (12.40) можно представить следующим образом:
S { (grad G)2 dV = 2 J (grad G S grad G) dV = V V
= 2 j (grad O.grad SG) dV=
V
= 2 ^div (grad G- SG) dV — 2 ^ V^G SG dV =
= 2 fSG (grad G-dS) — 2 ^ V2G SG dV. Первый интеграл последнего выражения равен нулю в силу того, что JG исчезает на границах. Поэтому
8 ^ (grad G)2dV = — 2 ^iGbGdV, (12.41)
и из того, что SG произвольно внутри V, следует, что интеграл ^ (grad G)J dV экстремален только, когда G удо-V
влетворяет уравнению
vsG = O. (12.42)
Аналогично релятивистские уравнения поля (12.4) могут рассматриваться, как уравнения Эйлера-Лагранжа принципа Гамильтона. В этом случае интеграл распространяется по четырехмерному объему
'= [ R ,
Ь У (12.43)
?/=0,
Вариации g^ (и их первых производных) попрежнему произвольны внутри четырехмерной области интегрирования D и должны исчезать на ее границах.
Интеграл / является инвариантом. Подинтегральное выражение
3? = К — gR (12.44)
представляет собой скалярную плотность, преобразующуюся по закону
I
Я*=
поэтому / преобразуется следующим образом:
/* = { = ^3? det I ~
" " I ds р
Из теории кратных интегралов известно, что при переходе к новым переменным интегрирования подинтегральное вы- ражение умножается на якобиан преобразования, другими словами, I* — тот же интеграл, что и /:
/* = /.
Уравнения Эйлера-Лагранжа выражают необходимые условия стационарности некоторого интеграла относительно вариации переменных, входящих в его подинтегральную функцию. Если интеграл инвариантен относительно преобразования координат, соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа выражают условия, которые не могут зависеть от выбора координат; другими словами, уравнения Эйлера-Лагранжа для инвариантного принципа Гамильтона являются ковариантными дифференциальными уравнениями.
Выразим теперь вариацию интеграла
(12.45)
dE
через вариации g^ '). Разобьем вариацию интеграла на две части следующим образом:
« J я,ч sr V~g dS = \ щ,v V^+
+ Jm dS.
(12.46)
Предварительно выразим вариацию R через вариации сим-
волов Кристоффеля:
«»-ті-ші-тя-
(12.47)
1J Здесь за независимые переменные удобно принять контра-вариантные компоненты тензора g1". Конечный результат расчета не будет зависеть от такого выбора, поскольку gw и ^lv однозначно определяют друг друга. Известно, что символы Кристоффеля не являются тензорами, так как они преобразуются согласно закону (5.81). Однако если в одном и том же пространстве определить две различные аффинные связности, то их разность Г,х„ —Г*ж будет преобразовываться как смешанный тензор третьего ранга, так как последний член в уравнении (5.81) сократится с подобным ему.
Вариация символа Кристоффеля J j P^j является тензором,
ибо она представляется разностью двух аффинных связностей, варьированного и неварьированного символов Кристоффеля.
Так как левая часть (12.47) является тензором, то правая часть может содержать только ковариантные производные тензора 8 Действительно, непосредственное вычисление показывает, что правая часть (12.47) равна
Возможность такого упрощения (12.47) впервые была указана Палатини. Умножим обе части равенства (12.48) на g^. Здесь g^ можио ввести под знак дифференцирования, поскольку ковариантная производная метрического тензора равна нулю:
(12.49)
Это выражение представляет собой ковариантную дивергенцию вектора. В задаче 10, б) главы V было установлено, что ковариантная дивергенция Vle может быть представлена в виде
vT- = V= VV (12.50) Используя эту формулу для подинтегрального выражения первого интеграла правой части уравнения (12.46), получим:
V^gsrtot,=
Это выражение является, таким образом, обычной дивергенцией. По теореме Гаусса (которая в я-мерном пространстве так же справедлива, как и в трехмерном) интеграл
