Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
P- 1-3??. (14.24)
Угол между двумя последовательными перигелиями поэтому равен
ф-2^1+3^)=2^ + 6*?^ (14.25)
Смещение перигелия планетной орбиты на 6тг-р- радиан
за время полного оборота может быть наблюдаемо у Меркурия, для которого оно составляет 43* в столетие. Прзд-сказываемое и наблюдаемое значения смещения хорошо согласуются в пределах экспериментальных ошибок астрономических наблюдений. Специальная теория относительности также предсказывает прецессионный эффект при движении тела в поле
•с потенциалом у. Однако количественно она дает результат, отличный от полученного в общей теории относитель-дости.
Чтобы убедиться в этом, возвратимся к рассмотренной в главе IX релятивистской трактовке атома водорода, данной Зоммерфельдом. Уравнения (9.27) соответствуют уравнениям (14.7), (14.8) и (14.9) настоящей главы. Их можно ¦записать в виде:
dt г, , е*
(14.26)
dt
j- в последнем уравнении можно заменить его выражением
из первого уравнения, что приводит к уравнению, не содержащему t:
(?)'+'¦(?)'-[(f^)'-1] • (,4-27>
Умножая это уравнение на
' hn
получим:
(S)
і
Вводя опять новую функцию а = — , найдем дифференциальное уравнение для а: Дифференцирование по б приводит к уравнению второго порядка
W+ =ISW- <14-30)
которое имеет следующие решения: е2Е
а=:
т 2W2C2
е2Е m2h'2c2
Vх——«)]}-
(l+ecos [(I--^73) (Q-o,)]}.
(14.31)
Отсюда получаем величину смещения перигелия за один период
<14-32>
Чтобы сравнить это выражение с (14.24), нужно заменить е2 (коэфициент кулоновского взаимодействия) на хтт' (коэ-фициент гравитационного взаимодействия в законе Ньютона).
Далее, постоянную А' нужно положить равной -у [А— постоянная, фигурирующая в уравнении (14.24)], так как т в уравнении (14.25) измеряется в метрических единицах. Таким образом, вместо (14.32) получаем
. »їтї
too-v.*(14.32а)
т. е. смещение, в шесть раз меньшее, чем в общей теории от нос ительности.
Отклонение света в шварцшильдовском поле. Световые лучи распространяются вдоль нулевых геодезических мировых линий. Эти линии уже не являются решениями, соответствующими вариационному принципу, так как для нулевых линий вариация подинтегрального выражения У в (5.93) не является линейной функцией вариаций
и ?5*'. Однако эти нулевые линии таковы, что вектор их касательной имеет ковариантную производную в направлении самой касательной, равную нулю. Таким свойством обладают также и ненулевые геодезические линии, поэтому оно может быть использовано для общёго определения и нулевых и ненулевых геодезических линий. В плоской метрике и в лорентцовой системе координат нулевые геодезические линии являются „прямыми" нулевыми линиями, т. е. S11 Sa, ?8 являются линейными функциями S4.
Для нулевых линий вектор касательной равен нулю, поэтому величина его не может быть нормирована. В связи с этим параметр т, которым мы пользовались до сих пор, нужно заменить параметром s, остающимся до некоторой степени неопределенным. Тогда дифференциальные уравнения геодезических линий примут вид:
di^ I \ PL I № П „ dV d? П MA QqV
-Ж-+Q^-SJ = 0' Sp4i ^5-=0. (14.3а)
Если метрика соответствует полю Шварцшильда, эти уравнения совпадают по форме с уравнениями (14.6), с той только разницей, что т всюду заменено на s. Первые интегралы (14.7), (14.8) и (14.9) сохраняют свой вид, только в (14.7) правая часть должна теперь равняться нулю, а не единице:
'(?)"—'(S)'-" (?)¦=»•
ds
г*?= А-
ds
(14.33)
Соединяя эти три уравнения в одно с помощью примененного выше метода, получим соотношение, связывающее г и tp:
(Sf)=S"-" (•«¦«>
Вводя снова переменную а, найдем:
(S)1Hp--+2-'- (14-35> Последний член справа учитывает влияние гравитационного поля на траекторию светового луча. Решениями уравнения
\di) № о
будут
A0=^cos(cp — еро), R = Yt (14.36)
где R — расстояние светового луча от начала координат» а ф0—постоянная интегрирования.
Угловое расстояние между двумя нулями функции u0 (т. е. угол между двумя асимптотами траектории светового луча) равно к Пусть и ((f) является решением уравнения (14.35). Тогда нас интересует отклонение углового расстояния между двумя нулями и(ф) от л. Оно равно удвоенному
отклонению от углового расстояния между максимумом и, и, и ближайшим к нулем, и определяется из уравнения
O = ^2-а"+ 2 хти. (14.37) Вычитая это уравнение из (14.35), получим:
^J =(и — «2) — 2хт (и —и\ (14.38)
откуда
? = [(* -u*)-2xm(u-u*)]-W (14>39)
Угловое расстояние между максимумом и и ближайшим нулем равно интегралу правой части (14.39), взятому от и=О до а=а. Этот интеграл не может быть вычислен в замкнутом виде. Однако нам известно, что такой же интеграл от правой части уравнения
Ir0=<"о-«о)-"2 (14.40) равен J. Отклонение первого интеграла от поэтому равно
IStp= \ {[(и1 — u*) — 2xm(u3 — us)]-W-
U = O
-Z1-U') -U2j
du.
(14.41)
Так как мы считаем, что релятивистский член (зависящий от т) мал в сравнении с классическим, выражение [/(Jf-)- е)—/(•*)] можно заменить через tf (х). В результате получим интеграл
