Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
64 = 6 = 8^(-7=5=), VK=I2+ -,W
_ jp _ arctg (^У
а*4=а4.
(14.1)
В этих координатах метрический тензор имеет вид:
. 2х/я
?44 = 1--
1
Sn = —
J_2%т '
г
Sii —
Sw = - Гг COSs 6,
(14.2)
а все остальные его компоненты равны нулю.
Уравнениями движения малой частицы в этом поле Шварцшильда будут Вычислим символы Кристоффеля Ip gj. Если для краткости
ввести обозначение
е^= 1 —"—у і (14.4)
(14.5)
для неисчезающих символов Кристоффеля ползучим:
MK* {ІК^ Р — тЧ
{22}=-^ {33}=—e^cos20' {12)=7- {33}=cos 6 sin
|?зИ' {?}—*••
Если упростить нашу механическую задачу, предполагая, что движение происходит в плоскости 6 = 0, то уравнения движения получим в виде следующих дифференциальных уравнений:
eptMnfdtdr — п O^mT * Jtdi —и'
!Й 4- — — _п
~di-»'і г dt dt
(14.6)
Один из интегралов этих уравнений дает определение дифференциала собственного времени
"(я)'—ЄР'-"®)'='- <•«>
Первое уравнение (14.6) имеет интеграл
= (14.8) Последнее уравнение (14.6) дает интеграл момента количества движения
r'g=A- (14.9)
Интеграл (14.8) соответствует интегралу энергии. Три уравнения (14.7), (14.8) и (14.9) заменяют уравнения второго порядка (14.6). Наконец, с помощью уравнения (14.8) можно исключить координатное время і, в результате чего получаем два уравнения:
(Э'+г-Й)'-2?=*'-'+^)"-
(14.10)
где еIі заменено его значением 1—^^. Отличие этих
г
уравнений от классических уравнений движения тела в ньютоновском поле состоит в том, что последний член первого уравнения (14.10) отсутствует в нерелятивистских уравнениях и что дифференцирование производится по собственному времени, а не по координатному. Классическими интегралами энергии и момента количества движения будут
1 + =
1 т г тп
гЧ = 1 r т"
(14.11)
где т —масса движущегося тела.
Уравнения (14.10) нельзя решить точно. Однако возможно найти такое приближенное решение, в котором первое приближение соответствует классической траектории тела, а второе приближение показывает отклонение решений релятивистских уравнений (14.10) от классических (14.11).
Умножим первое уравнение (14.10) на и подста-
вим значение этого множителя из второго уравнения. Тогда получим дифференциальное уравнение
которое после введения функции и — переходит в
(S)'= —« + (14.13)
Дифференцируя по <р, получим отсюда уравнение второго порядка:
g + «=SrO+3AW). (14.14)
Отличие этого релятивистского уравнения от соответствующего классического обусловлено вторым членом в круглых скобках, ЗА2иг. Согласно (14.9) этот член равен
Зй%* = з(г^)2; (14.15)
другими словами, он приблизительно пропорционален квадрату компоненты скорости, перпендикулярной радиусу-вектору. В „релятивистских единицах" времени, в которых скорость света равна единице, скорость звезд, например, мала по сравнению с единицей. Релятивистский член в уравнении (14.14) является поэтому поправкой высшего порядка. Решением уравнения
( *яі ... ...
-^ + aO=-P (14.16)
будет
" —'F
«о = т?[1 4-е со8(ср — в))], (14.17)
где е и а — постоянные интегрирования, е представляет собой эксцентриситет эллипса, а ш определяет положение перигелия.
Решения уравнений (14.14), которые апроксимируются эллипсами, являются периодическими. Уравнение (14.13) каждому значению а ставит в соответствие два значения
отличающиеся только знаком. Решения будут периоди-
ческими, если правая часть уравнения (14.13) имеет два нуля в области положительных значений и и положительна между этими двумя нулями. В этом случае решение будет осциллировать между этими двумя нулями. Приближенное решение (14.17) имеет период 2тг, т. е. представляется замкнутыми орбитами. Периоды точных решений уравнения (14.14) будут, однако, отличаться от 2тг малой величиной. Разложим периодические решения уравнения
а*4-а = а(1-|-Хй2) (14.18)
в ряды Фурье
и = а0 -J- a, cos ptp -{- а2 cos 2рср -(---- (14.19)
Если X малая постоянная, решение может быть апроксими-ровано выражением
U0 = а (1—є costp). (14.20)
Предположим поэтому, что а0 в этом приближении равно а, a Ct2 и другие коэфициенты, по крайней мере, порядка X. Иначе говоря, выражение (14.19) мы заменяем рядом
OO
a = a-f-X?o-bflscosP'-P+^2 PvcosvPtP- (14.21)
2
Подставим это выражение в (14.18), пренебрегая членами второго и высшего порядков относительно X. Для а" получим
и" = — р5
os cos p-f + ). ^ v2^ cos vptpj.
Для Xu2 имеем
Xaa ~ Xfla [ 1 -{- 2е cos ^tp ?а cosa р<р] =
Г 62 g2 "1
= Xfl' 1-(-у-(-2є cos pip -f--j- cos 2pp . Уравнение (14.18) поэтому переходит в
a+X?o + ae(l — p2)cosp'f —
— l|l(v*—cosvp?- (14.18а>
— a |"l + Icfl (і + Y + 2єcosptp + у cos 2р<р j.
Приравнивая постоянные члены и коэфициенты при cos ftp и при cos2ptp, получим соотношения
Po = «3 (1 + ?, ]
1 — P3 = \
(14.22)
•• /
Нас интересует только второе соотношение, определяющее P^ Легко видеть, что р мало отличается от единицы:
P=Kl- 1—Xe«. (14.23)
Подставляя для X и а их значения, определяемые (14.14), найдем
