Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
/-gQ^=dg-
S-\
(12.66)
Умножая это уравнение на , найдем: ( \ .pV* -J^eV-4 .. . \ _1_
dg* Vе * '/>
if
(12.67)
Сумма первого и последнего членов справа представляет «обой производную 4? п0 зависит от координат ненепосредственно, а через g^ и ^p. Поэтому имеем
\ а л />я
= (12.68)
На этом доказательство, в сущности, заканчивается. Действительно, выражение слева равно
(12.69)
откуда находим, что уравнения (12.61) приводятся к виду
О = [V~g (/у+11;) ] „ = [v~g (р;. +
+їег*)]*- <12-70)
Выражения
не являются компонентами тензора. Однако они все же называются компонентами »псевдотензора"1) энергии-импульса общей теории относительности, так как удовлетворяют четырем законам сохранения (12.70)
Компоненты энергии-импульса гравитационного поля tj содержат только первые производные от g^; можно сказать, что опи являются алгебраическими функциями гравитационных „напряженностей поля". Для общей теории относительности характерно, что величины такого типа ие могут быть тензорами. Всегда возможно найти такую систему отсчета, в которой «напряженность гравитационного поля" в данной точке
1J Величины t* ведут себя как тензор относительно линейных
преобразований. Во избежание путаницы, следует помнить, что в русской литературе термин .псевдотензор* часто применяется также взамен термина ,тензорная плотность"; однако между Т»
и тензорной плотностью нет ничего общего. (Прим. ред.)исчезает, и тогда компоненты энергии-импульса в этой точке также обращаются в нуль.
Обратно, в плоском пространстве можно выбрать систему отсчета, в которой наблюдаются »силы инерции". По принципу эквивалентности в данной точке »силы инерции" нельзя отличить от гравитационных полей; поэтому компоненты tjl отличны от нуля в неинерциальной системе координат.Глава Xlll
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В ОБЩЕЙ
ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ #
Уравнения поля общей теории относительности нелинейт ны. Пока мы нашли решения только приближенных линейных уравнений. В этой главе будут рассмотрены случаи, в которых возможно решение точных уравнений в конечном виде.
Общего метода нахождения точных решений уравнений поля не существует. Однако точное решение возможно в тех немногих случаях, когда число переменных можно уменьшить, используя условия симметрии.
Решение Шварцшильда. Рассмотрим сначала решение, соответствующее покоящейся точечной массе. Предположим, что решение сферически симметрично и что ни одна из переменных не зависит от S4. Если ввести переменную
г = Y + + (13.1)
наиболее общим видом линейного элемента с указанными свойствами будет
Л2=A(r)dV + 2В (г) IsdVdl' — С (г) Srs d?dl' +
+ D{r)bbdW, (l32>
где А, В, С и D являются функциями от г. Этот линейный элемент не меняет своего вида при повороте пространственных координат S* вокруг оси, проходящей через начало координат.
Подходящим преобразованием координат можно исключить две из четырех неизвестных функций А, В, С и Drие нарушая при этом статического характера задачи и сферической симметрии линейного элемента. Производя сначала лреобразование координат
= $* +/(г), 6«=6», (13.3)
¦можно исключить члены, содержащие произведения d1s и dz4. Компоненты gis преобразуются при этом согласно уравнению
* — і
Sis — Sa dZ*3 ' ^4s
или
В* =B-^r-A. (13.4)
Выбирая / так, чтобы оно удовлетворяло уравнению
(13.5)
df__B dr А
можно исключить член, содержащий В.
Рассмотрим далее метрику с компонентами
Si 4 — Д gis — О,
g„ = -Ci„ + Dl
гЬ- }
(13.6)
Преобразуя пространственные координаты следующим образом
(13.7)
получим новую систему координат, в которой метрика сохраняет прежний вид (13.6), но где функция С — постоянная и равна единице. Компоненты grs преобразуютсяпо закону • __ dV diu __
Srs — gik —
/
(13.8)
В полученной системе координат С будет равно единице, если ф в (13.7) выбрать следующим образом:
Остаются только две неизвестные функции А и D. Вместо них введем две другие функции от г, функции — |1 и v, с помощью которых решение уравнений поля значительно упрощается. Новые функции зададим уравнениями:
Для компонент контравариантного метрического тензора получим:
(13.9)
gii==A = eV-, Bts = O,
Srs= — + DlrXs = — ^ + (1 —
(13.10)
V = Iog(I-D).
/
gis=о,
(13.11)Найдем теперь символы Кристоффеля и компоненты тензора O11,. Для символов Кристоффеля первого рода имеем
[44, Sj = -IjlV^1 1
[4.., 4] =т ^*?
irS> <] = Ъ [-=T1 (Ks - Irls) - J V'*'ЬЬ ] .
(13.12)
где штрихами обозначено дифференцирование по г. Компоненты, в которые индекс 4 входит нечетное число раз, равны нулю. Символы Кристоффеля второго рода имеют следующий вид:
Ц} =4 {4t} =4
{ « } = ь [^zT2 (Ks - tL) 4- J v'Xrb] • ,
(13.13)
Как и в предыдущем случае, компоненты, в которые индекс 4 входит нечетное число раз, обращаются в нуль.
Вычислим компоненты свернутого тензора кривизны Ri
М4
= - {1^ + 7^ + 4^(11'- v'>} •
«4,= О,
*« =R^-T v' + T № - v'>} bL +