Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бергман П.Г. -> "Введение в теорию относительности" -> 65

Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.

Бергман П.Г. Введение в теорию относительности — Иностранная литература, 1947. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuotnositelnosti1947.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 91 >> Следующая


/-gQ^=dg-

S-\

(12.66)

Умножая это уравнение на , найдем: ( \ .pV* -J^eV-4 .. . \ _1_

dg* Vе * '/>

if

(12.67)

Сумма первого и последнего членов справа представляет «обой производную 4? п0 зависит от координат не непосредственно, а через g^ и ^p. Поэтому имеем

\ а л />я

= (12.68)

На этом доказательство, в сущности, заканчивается. Действительно, выражение слева равно

(12.69)

откуда находим, что уравнения (12.61) приводятся к виду

О = [V~g (/у+11;) ] „ = [v~g (р;. +

+їег*)]*- <12-70)

Выражения

не являются компонентами тензора. Однако они все же называются компонентами »псевдотензора"1) энергии-импульса общей теории относительности, так как удовлетворяют четырем законам сохранения (12.70)

Компоненты энергии-импульса гравитационного поля tj содержат только первые производные от g^; можно сказать, что опи являются алгебраическими функциями гравитационных „напряженностей поля". Для общей теории относительности характерно, что величины такого типа ие могут быть тензорами. Всегда возможно найти такую систему отсчета, в которой «напряженность гравитационного поля" в данной точке

1J Величины t* ведут себя как тензор относительно линейных

преобразований. Во избежание путаницы, следует помнить, что в русской литературе термин .псевдотензор* часто применяется также взамен термина ,тензорная плотность"; однако между Т»

и тензорной плотностью нет ничего общего. (Прим. ред.) исчезает, и тогда компоненты энергии-импульса в этой точке также обращаются в нуль.

Обратно, в плоском пространстве можно выбрать систему отсчета, в которой наблюдаются »силы инерции". По принципу эквивалентности в данной точке »силы инерции" нельзя отличить от гравитационных полей; поэтому компоненты tjl отличны от нуля в неинерциальной системе координат. Глава Xlll

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В ОБЩЕЙ

ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ #

Уравнения поля общей теории относительности нелинейт ны. Пока мы нашли решения только приближенных линейных уравнений. В этой главе будут рассмотрены случаи, в которых возможно решение точных уравнений в конечном виде.

Общего метода нахождения точных решений уравнений поля не существует. Однако точное решение возможно в тех немногих случаях, когда число переменных можно уменьшить, используя условия симметрии.

Решение Шварцшильда. Рассмотрим сначала решение, соответствующее покоящейся точечной массе. Предположим, что решение сферически симметрично и что ни одна из переменных не зависит от S4. Если ввести переменную

г = Y + + (13.1)

наиболее общим видом линейного элемента с указанными свойствами будет

Л2=A(r)dV + 2В (г) IsdVdl' — С (г) Srs d?dl' +

+ D{r)bbdW, (l32>

где А, В, С и D являются функциями от г. Этот линейный элемент не меняет своего вида при повороте пространственных координат S* вокруг оси, проходящей через начало координат.

Подходящим преобразованием координат можно исключить две из четырех неизвестных функций А, В, С и Dr ие нарушая при этом статического характера задачи и сферической симметрии линейного элемента. Производя сначала лреобразование координат

= $* +/(г), 6«=6», (13.3)

¦можно исключить члены, содержащие произведения d1s и dz4. Компоненты gis преобразуются при этом согласно уравнению

* — і

Sis — Sa dZ*3 ' ^4s

или

В* =B-^r-A. (13.4)

Выбирая / так, чтобы оно удовлетворяло уравнению

(13.5)

df__B dr А

можно исключить член, содержащий В.

Рассмотрим далее метрику с компонентами

Si 4 — Д gis — О,

g„ = -Ci„ + Dl

гЬ- }

(13.6)

Преобразуя пространственные координаты следующим образом



(13.7)

получим новую систему координат, в которой метрика сохраняет прежний вид (13.6), но где функция С — постоянная и равна единице. Компоненты grs преобразуются по закону • __ dV diu __

Srs — gik —

/

(13.8)

В полученной системе координат С будет равно единице, если ф в (13.7) выбрать следующим образом:

Остаются только две неизвестные функции А и D. Вместо них введем две другие функции от г, функции — |1 и v, с помощью которых решение уравнений поля значительно упрощается. Новые функции зададим уравнениями:

Для компонент контравариантного метрического тензора получим:



(13.9)

gii==A = eV-, Bts = O,

Srs= — + DlrXs = — ^ + (1 —

(13.10)

V = Iog(I-D).

/

gis=о,

(13.11) Найдем теперь символы Кристоффеля и компоненты тензора O11,. Для символов Кристоффеля первого рода имеем

[44, Sj = -IjlV^1 1

[4.., 4] =т ^*?

irS> <] = Ъ [-=T1 (Ks - Irls) - J V'*'ЬЬ ] .

(13.12)

где штрихами обозначено дифференцирование по г. Компоненты, в которые индекс 4 входит нечетное число раз, равны нулю. Символы Кристоффеля второго рода имеют следующий вид:

Ц} =4 {4t} =4

{ « } = ь [^zT2 (Ks - tL) 4- J v'Xrb] • ,

(13.13)

Как и в предыдущем случае, компоненты, в которые индекс 4 входит нечетное число раз, обращаются в нуль.

Вычислим компоненты свернутого тензора кривизны Ri

М4

= - {1^ + 7^ + 4^(11'- v'>} •

«4,= О,

*« =R^-T v' + T № - v'>} bL +
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed