Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся на качественном описании ситуации, возникающей при Z > 137. Снова, чтобы избежать неопределенности в гра-
х) В обычных единицах U = — Ze2//-. При переходе к релятивистским единицам е2 заменяется на безразмерное а.
§ 36]
ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ
161
ничном условии при г = 0, следует рассматривать потенциал, обрезанный на некотором расстоянии г0 (И. Я¦ Помератук, Я¦ А. Смородинский, 1945). Это имеет не только формальный, но и прямой физический смысл. Заряд Z > 137 фактически может быть сосредоточен только в некотором «сверхтяжелом» ядре конечного радиуса. Рассмотрим поэтому, как меняется расположение уровней с увеличением Z при заданном г0.
В «необрезанном» кулоновом поле энергия нижнего уровня обращается при Za=l в нуль и кривая зависимости ех (Z) обрывается— при Za > 1 уровень ех становится мнимым (см. ниже
(36,10)). В «обрезанном» же поле, при заданном гаФ 0, уровень ех проходит через нуль лишь при некотором Za > 1. Но значение — 0 никак не выделено физически, а при г0 Ф 0 оно ничем не выделено и формально—кривая зависимости ех (Z) здесь не обрывается. При дальнейшем увеличении Z уровни продолжают понижаться, и при некотором определенном, «критическом» значении Z=Zc(r0) энергия 6j достигает границы (—т) нижнего континуума уровней. Как было объяснено в предыдущем параграфе, это означает обращение в нуль энергии, требуемой для рождения свободного позитрона. Поэтому критическое значение Zc—это максимальный заряд, которым может обладать «голое» ядро при заданном г0.
При Z > Zc уровень <—т и становится энергетически выгодным рождение двух электрон-позитронных пар. Позитроны уходят на бесконечность, унося кинетическую энергию 2 (^l—т), а два электрона заполняют уровень е1. В результате образуется «ион» с заполненной АТ-оболочкой и зарядом Z^.j^Z—2 (С. С. Герштейн, Я• Б. Зельдович, 1969). Эта система устойчива при Z > Zc вплоть до значений Z, когда границы —т достигнет следующий уровень1).
Наконец отметим, что даже в случае точечного заряда ход потенциала на малых расстояниях искажается за счет радиационных поправок. Их учет приводит, однако, лишь к поправкам ~а к значению Zca.
Обратимся теперь к точному решению волнового уравнения (G. Darwin, 1928; W. Gordon, 1928).
а) Дискретный спектр (е < т). Будем искать функции / и g в виде
/ = УШ+Ze-р/^-1 (Qt + Q3), (3б з
g = — Vm—ee-P^pv-1 (Qi — Q2),
i) Так, если заряд ядра равномерно распределен в сфере радиуса г0= 1,2-10-12 см, критическое значение 2С= 170, а следующий уровень достигает границы^ — т при 2=185 (В. С. Попов, 1970). Подробное изложение количественной теории — см. обзорную статью Я- В. Зельдовича и В. С, Попова (УФН, 1971, т. 105, с. 403).
162 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [Гл. IV
где введены обозначения
р = 2кг, %~Утг—е2, у=У%2—Z2а2. (36,4)
Такая форма представляется естественной ввиду известного уже нам поведения функций при р—*-0 (36,2) и их экспоненциального затухания (~е_р/2) при р—юо. Поскольку при р—*оо функции fag должны вести себя асимптотически одинаковым образом, то следует ожидать, что при р—>-оо будет Qt^>Q2. Подставив (36,3) в (35,4), получим уравнения
Р (Qi + Q2)' + (Y + и)(Qi + Q2)—PQa + Za Y^+|(Qi-Q2) = °-
p(Qi-Q2)' + (y-*)(Qi-Q2) + pQ2-Zgc YSEi(Qx + Qa) = 0
(штрих означает дифференцирование по р). Их сумма и разность дают
Zae \ г. . / Zam \ л п
Qi+ X---j— ) Qa =*0,
(36,5)
pQi + ( V j*t n
pQ;+(y+^-p)q. + (k+tt)Qx=o, или, после исключения Qx или Q2,
pQi" + (2 Y + 1 - P) Qi - ( Y ~^ ^ = 0, pq;+(2y + i-p) q;-(y + i-^)q2=o
(надо учесть, что y2 — (Zae/Я)2 = и2 — (Zam/Я)2). Решение этих уравнений, конечное при р = 0:
= AF f y—. 2V+I, р),
/ Zae \ (36>6)
Q2=BF (y + 1-^1, 2y+1, р),
где У7 (a, р, z)—вырожденная гипергеометрическая функция. Положив в каком-либо из уравнений (36,5) р = 0, найдем связь между постоянными А и В:
Обе гипергеометрические функции в (36,6) должны сводиться к полиномам (в противном случае они будут возрастать при р—>-оо как ер, а с ними будет возрастать — как еР/2—и вся волновая функция). Функция F (а, р, г) сводится к полиному, если параметр а равен целому отрицательному числу или нулю. Обозначим
у-^ = -пг. (36,8)
ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ
163
2
Если пг= 1, 2, обе гипергеометрические функции сводятся к полиномам. Если же пг = 0, то сводится к полиному лишь одна из них. Но равенство пг = 0 означает, что y — Zaz/K, и тогда, как легко проверить, ZamA = |x|. Если х < 0, то коэффициент В (36,7) обращается в нуль, так что Q2 = 0, и требуемое условие не нарушается. Если же х > 0, то В = — А, и Q остается при пг — 0 расходящейся функцией.. Таким образом, допустимы следующие значения квантового числа пг:
/ 0, 1, 2, ... при х<0;
Пг~\ 1, 2, 3, ... при х > 0. ( ^
Из определения (36,8) находим теперь следующее выражение для дискретных уровней энергии:
е
т
J ,___________(Z*)2
1/2 . (36,10)
(V*2-m*+nr)\
В частности, энергия основного уровня 1st/, (|х| = 1, пг = 0):
=mV 1 —(Za)2.
При Za^l первые члены разложения формулы (36,10) дают е г тг (, , тг
т 2^(|и|-Ьпг)3 \ ^ \к\ + п,
|и|| 4(( к| + п,)_
