Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 59

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 247 >> Следующая

Обозначив пг-\-\у.\=п (=1,2, ...) и заметив, что |к| = /-J-1/2, мы вернемся к формуле (34,4), полученной нами ранее с помощью теории возмущений. Как уже было указано в конце § 34, дальнейшие члены этого разложения не имеют смысла, поскольку они заведомо перекрываются радиационными поправками. Формула (36,10), однако, имеет смысл в своем точном виде при Za~ 1. Отметим, что обнаруживаемое приближенной формулой
(34,4) двукратное вырождение уровней сохраняется и в точной формуле: поскольку в нее входит лишь|х|, то уровни с разными I при одном и том же / по-прежнему совпадают.
В волновой функции нам осталось еще определить общий нормировочный коэффициент А. Как всегда, волновая функция Дискретного спектра должна быть нормирована условием
^ 1 "Ф |а с?3д: = 1; для функций f и g это означает условие
00
$(P+*Vadr = l.
0
Нахождение А проще всего осуществляется по асимптотическому виДу функций при г —с оо. С помощью асимптотической формулы
о.. , 1 Г(2г + 1) ,
164 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 1Гл. IV
(см. Ill (d, 14)) находим
f» (-1)"' A l/^rm±lLje-v (2Xr)v+»r-i.
Сравнивая эту формулу с выражением (36,22), которое будет найдено ниже, определим А. Собрав затем полученные формулы, выпишем полностью окончательные выражения нормированных волновых функций:
' (т ± е)Г(2у+яг+1)
. Zam (Zam \ ,
4т—{~к—и)п'!
Чг (21г)у-1е-ьг х
j Г(2у + 1)
х {{нГ-*)р(-пг' 2V+1’ 2Т+1, 2Л/)|
(36,11)
(верхние знаки относятся к f, нижние—к g).
б) Непрерывный спектр (е>/п). Нет необходимости заново решать волновое уравнение для состояний непрерывного спектра. Волновые функции этого случая получаются из функций дискретного спектра заменой х)
Ут—е —>—t']/е—т, X—+ — ip, —nr—+y — i^y- (36,12)
(о выборе знака при аналитическом продолжении корня Ут—е см. III, § 128). Заново, однако, должна быть произведена нормировка функций.
Проделав в (36,11) указанную замену, представим функции f и g в виде
М Ув + т l.^V>(2pr)Y-ix gf t У е—т )
Х[е'^(7—?v, 2у+1, — 2ipr) =F e~^F(y-\-1 — iv, 2у+1, —2ipr)], где А'—новая нормировочная постоянная и введены обозначения
„=2=, (36,13)
X—tv---
8
(величина | вещественна, поскольку Ya + (Zae/p)a = x2 +(Zam/р)2). Согласно известной формуле
F(а, р, z) = ezF ф—а, р, — г)
(см. Ill (d, 10)) имеем
F(y+1 — iv, 2v + l, —2ipr) = e~i!PrF (v + iv, 2^+1, 2ipr) =
= e~%iPrF* (y_ iv, 2y+1-, —2ipr).
l) Ниже в этом параграфе р обозначает |р | = Уе?—т2.
5 36] ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 165
Поэтому
^ | = 2iA' У г ± т (2pr)v-1^J | ес (рг+&Р (у — tv, 2у+1, — 2tpr)| .
(36,14)
Нормировочный коэффициент А определяется сравнением асимптотического выражения этой функции с общей формулой (35,7) для нормированной сферической волны. Выпишем сразу получающееся таким образом выражение волновых функций непрерывного спектра (и затем проверим его)1):
, ч _____ nv
f 1 = 23/2 1 /т ± 6 е 2 I г (Т+ 1 + 'v) | (2рг) v х 8) У г Г(2у+1) г
х RmJyei(pr+l)F(y-iv, 2у+1, -2t»|. (36,15)
Асимптотическое выражение этой функции находится с помощью формулы III (d, 14), в которой в данном случае существен только первый член (второй убывает с более высокой степенью 1/г):
где
или
'г}=^/4^'r+^+vln2/,/¦-*)’ (36’16>
6*=s —argr(Y+l + tv)-f+ у, (36,17)
еШ* =^gf+;.Tiv| (36,18)
у — iv r(Y+l + tv) v '
Отметим для будущих ссылок выражение фаз в ультрареляти-
вистском случае (ej>>m, v « Za)
ш (36,19)
у — iZa Г (у -\- 1 -\- iZа)
Выражение (36,16) отличается от (35,8) лишь логарифмическим членом в аргументе тригонометрической функции. Как и в случае уравнения Шредингера, медленность убывания кулоно-вого потенциала приводит к искажению фазы волны, которая становится медленно меняющейся функцией г.
При аналитическом продолжении в область е < т. выражение (36,18) принимает вид
1+^д) (36’20)
1) Волновые функции в поле отталкивания получаются отсюда изменением ака перед Za, т. е. изменением знака v.
166 4 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [Гл. IV
Оно имеет полюсы в точках, где у + 1—Zae/X— \ — nr,nr—l,2,... (полюсы Г-функции в числителе), а также в точке v—Zaz = — пг = О (если при этом к < 0); как и следовало ожидать, эти точки совпадают с дискретными уровнями энергии.
Вблизи какого-либо из полюсов с я,^0 имеем
~ пгТ{2у+\ + пг) W'
Вид Г-функции вблизи ее полюса находится с помощью известной формулы Г(г)Г(1—z) = л/sin пг:
^ ) ' Г (nr) sin л (у+ 1 —Zae/X) ’
( . , Z<xz\ d f Zae\ , . , 14«rnZam2, .
sinn^v+l------jj-J»ncosnn,-^-Y-J (e—e0)=(—1) r-^-(e—e0)
(e0 —уровень энергии). Таким образом1),
myfZam
/,бч » ( \)1+Пг Пг\т (2у+\+пг) Zam2 е —s0' (36,21)
В конце предыдущего параграфа была получена формула
2(6
(35,11), связывающая вычет функции е и в ее полюсе с коэффициентом в асимптотическом выражении волновой функции соответствующего связанного состояния. В случае кулонова поля, однако, эта формула должна быть несколько видоизменена в связи с тем, что вместо постоянного фазового сдвига 6И (как
это было в (35,7)) в (36,16) стоит сумма 6И -)-vln(2рт). В левой
2 id
стороне (35,11) надо поэтому писать не е к, а
ехр (2j'6x + 2iv In 2pr) —* e™* (2iXr)^n>-+y).
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed