Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Используя (36,21) и определив из (35,11) коэффициент Л0 (который будет теперь степенной функцией г), найдем асимптотический вид нормированной волновой функции дискретного спектра:
f Г._(2сциД-.х)(«+в)Х»
' [ 2пг\ ZamP-T (2у+1+лг) J г (
Эта формула была уже использована для определения коэффициента в (36,11).
*) Легко убедиться, что эта формула остается справедливой и в случае пг = 0.
РАССЕЯНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
167
§ 37. Рассеяние в центрально-симметричном поле
Напишем асимптотическое выражение волновой функции, описывающей рассеяние частиц в поле неподвижного силового центра в виде1)
— иЕре'Ргиер’-у-. (37,1)
Здесь иЕр — биспинорная амплитуда падающей плоской волны. Биспинор же ii'w является функцией направления рассеяния п', а при каждом заданном значении п' совпадает по форме (но, конечно, не по нормировке!) с биспинорной амплитудой, распространяющейся в направлении п' плоской волны.
Мы видели в § 24, что биспинорная амплитуда плоской волны полностью определяется заданием двухкомпонентной величины — трехмерного спинора w, представляющего собой нерелятивистскую волновую функцию в системе покоя частицы. Через этот спинор выражается и плотность потока: она пропорциональна w*w (с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от энергии б и, следовательно, одинаковым для падающих и рассеянных частиц). Поэтому сечение рассеяния do = (w'*w'/w*w)do или, если (как и в § 24) нормировать падающую волну условием W*W — 1,
do = w'*w’do.
Введем оператор рассеяния f согласно определению
w' = fw. (37,2)
Ввиду двухкомпонентности величин w, w' определенный таким образом оператор вполне аналогичен, операторной амплитуде рассеяния, фигурирующей в нерелятивистской теории рассеяния с учетом спина (III, § 140). Поэтому непосредственно переносятся сюда полученные там формулы, выражающие оператор через фазовые сдвиги волновых функций в рассеивающем поле. Надо лишь произвести переобозначение этих фаз, выразив введенные в III, § 140 сдвиги 6/+ и б j через фазовый сдвиг би, фигурирующий в релятивистской формуле (35,7). Напомним, что фазы бг+ и 6f относились к состояниям с орбитальным моментом I и полным моментом / = / + 72 и / = /—1/2. Согласно определению (35,3) х = — I—1 при / = И-7г и х = 1 при j = l—1/г- Поэтому мы должны переобозначить
6j+ — б_(/+1), бг — б,
„„г,,1) в §§ 37, 38 р обозначает I р I, а в качестве индексов у амплитуды “ишем отдельно е и р.
168 4 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [Гл Iv
(и помнить, что индекс у б обозначает теперь значение числа х!). Таким образом, получим следующие формулы:
f=A + Bva, (37,3)
СО
а = i ? W + 0 (e2l6-i-i -1Ж (е2,в< -1)] Pi (cos 6), (37,4)
w=o
оо
в = 977 Е (e2l6-i-i-e2‘«i) Я} (cos G), (37,5)
p i= l
где v —единичный вектор в направлении [nn'].
Поскольку w—спинорная волновая функция в системе покоя, то и поляризационные свойства рассеяния описываются с помощью f теми же формулами, что и в III, § 140.
В случае кулонового поля оказывается возможным выразить обе функции Л (0) и В (0) через одну функцию. Укажем вкратце ход соответствующих вычислений*).
Для кулонового поля фазы 6* даются формулой (36,18), которую представим в виде
2i6 / . Ze2m\ и г
„ Г (V — iv) (| х | —v) ^'.0/
С*~ Г(у+1 + «)в
(замечаем, что е1я!~е‘т при % > 0, и еш = — е!л* при х < 0). С помощью введенных таким образом величин ряды (37,4—5) могут быть представлены в виде
-4(G) = -^ G (0) — i ~г- F (0)>
В (0) = - j tg ? • G(0)+^ ctg F (0), (3?,7)
где
G (0) = ~ E l*Ct (Pi + />,-0, F (0) = J- Ezc, (Л -Л- i). (37,8)
/=i i=i
При преобразовании ряда В (в) использованы следующие рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра:
PR^-^-ctgj ./(Л-Л-i), (37,9)
(37,10)
i) Gluckstern R. L„ Lin S. R.—J. Math. Phys., 1964, v. 5, p. 1594.
§ 38] РАССЕЯНИЕ В УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ 169
С другой стороны, в силу тождества (1 + cos 0) [Pt (cos 0) - Pi _! (cos 0)] = I [Pt (cos 0) -f Pt _ t (cos 0)]
(37,11)
функции F(0) и G (0) связаны друг с другом соотношением
й-<1-“5в)ет5=-с‘к4я- <37’12>
Тем самым и Л (0), ?(0) оказываются выраженными через одну функцию /''(О)1).
§ 38. Рассеяние в ультрарелятивистском случае
Особо рассмотрим рассеяние в ультрарелятивистском случае (е^>т). В первом приближении полностью пренебрегаем в волновом уравнении массой т. При этом удобно пользоваться
для ф спи норным представлением так как уравнения
для | и п при т = 0 разделяются:
— ia\l = (e — U)l, — raVi] = — (е — U) г) (38,1)
(приобретая «нейтринный» вид, § 30).
Спиральному состоянию электрона, поляризованного в направлении р, отвечает волновая функция г|з= ^ j , а поляризованному против р: j. В силу раздельности уравнений
для | и г) очевидно, что это свойство при рассеянии не меняется. Другими словами, при рассеянии ультрарелятивистских электронов сохраняется спиральность. Из соображений симметрии (продольная поляризация) очевидно, что при рассеянии спиральных частиц отсутствует азимутальная асимметрия. Можно также утверждать, что сечение рассеяния спиральных электронов не зависит от знака спиральности; это следует из того, что центральное поле инвариантно по отношению к инверсии, а знак спиральности при иуверсии меняется на обратный.
