Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
случае основные расстояния — порядка воровского радиуса: г ~ 1/mZa). Решение этого уравнения: ф(1> =-^-аиуфнр» так что
“V) “Фнр>
§ 40. Электрон в поле плоской электромагнитной волны
Уравнение Дирака может быть решено точно для электрона, движущегося в поле плоской электромагнитной волны (Д. М. Волков, 1937).
Поле плоской волны с волновым 4-вектором &(fe2 = 0) зависит от 4-координат лишь в комбинации (p = kx, так что 4-потенциал
Л^ = Л^(Ф), (40,1)
причем он удовлетворяет условию калибровки Лоренца
d»A<x = kViA», = 0
(штрих означает дифференцирование по <р). Поскольку постоянный член в А несуществен, в этом условии можно опустить штрих и записать его в виде
kA= 0. (40,2)
Исходим из уравнения второго порядка (32,6), в котором тензор поля
Fnv = kfxAv — k^A'^. (40,3)
176 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [Гй. IV
При раскрытии же квадрата (id—еЛ)а надо учесть, что в силу
(40,2) дц = А^д^. В результате получим уравнение
[_ д2 —2ie (Ад) + е%А2 - m*—ie (yk) (уA'')] ф = 0 (40,4)
(aa=atlaii).
Ищем решение этого уравнения в виде
y!p = e-’PxF (у), (40,5)
где р— постоянный 4-вектор. Прибавление к р любого вектора вида const -k не меняет такого вида функции г|) (требуется лишь соответствующее переобозначение функции F (ср)). Поэтому можно без ограничения общности наложить на р одно дополнительное условие. Пусть
р2 = тг. (40,6)
Тогда при выключении поля квантовые числа р* переходят в компоненты 4-импульса свободной частицы. Смысл компонент 4-вектора р при наличии поля более нагляден в специальной системе отсчета, выбранной так, чтобы было Л0 = 0. Пусть в этой системе
вектор А направлен по оси х1, а к—по оси хя (т. е. электри-
ческое поле волны направлено по х1, магнитное—по х2, а сама волна распространяется вдоль оси х3). Тогда (40,5) будет собственной функцией операторов
~ __. <з - /_д____а \
Pl ~ 1 дх1 ’ Рг — 1 дх2 ’ Ро Рз~1 U*0 дх*)
с собственными значениями рг, р2, р0—р3 (сами же эти опера-
торы, как легко видеть, коммутативны с гамильтонианом уравнения Дирака). Таким образом, в данной системе отсчета р1, рг—компоненты обобщенного импульса вдоль осей х1, х2,
а р° — р3— разность между полной энергией и компонентой обобщенного импульса вдоль оси х3.
При подстановке (40,5) в (40,4) замечаем, что
d^F^k^F', d^F = k2F" = 0,
и находим для F (ср) уравнение
2i (kp) F' -f [— 2е (pA)-\-e2A2 — ie(yk) (уЛ')] F = 0.
Интеграл этого уравнения
v 0 *
где «/К2р„ — произвольный постоянный биспинор (о форме его записи см. ниже).
§ 40] ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 177
Все степени (yk)/(yA) выше первой равны нулю, поскольку (yk) (у A) (yk)(yA) =
= - (Y*) (Y*) (УЛ) (уЛ) + 2 (кА) (ук) (уЛ) = - к?А* = 0. Поэтому можно заменить
ехР -Щкр)А)- =1+ТЩiyk) iyA)'
так что г]) принимает вид
^=[‘+2(к<«Н7=^. (40,7)
где1)
kx
S = -p*-J-^ [(рЛ)-|Л2]<*Ф. (40,8)
о
Для выяснения условий, налагаемых на постоянный биспинор и, следует считать, что волна бесконечно медленно «включается», начиная от t— — с». Тогда Л—>0 при kx—> — оо и г]) должно переходить в решение свободного уравнения Дирака. Для этого и — и (р) должно удовлетворять уравнению
(ур—т)« = 0. (40,9)
Этим условием отбрасываются «лишние» решения уравнения второго порядка. Так как и не зависит от времени, это условие остается в силе и при конечных kx. Таким образом, и(р) совпадает с биспинорной амплитудой свободной плоской волны; будем предполагать ее нормированной тем же условием (23,4): ии=2т.
Изложенные рассуждения позволяют также сразу выяснить нормировку волновых функций (40,7). Бесконечно медленное включение поля не меняет нормировочного интеграла. Отсюда следует, что функции (40,7) удовлетворяют тому же условию нормировки
J г)уг])/3* = J typry^p dsx = (2л)3 6 (р' —р), (40,10)
что и свободные плоские волны.
Найдем плотность тока, отвечающую функциям (40,7). Заметив, что
*'-ж[1+5(кмм]
„Выражение S совпадает с классическим действием для частицы, движущейся в поле волны—ср. II, § 47, задача 2.
178
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл. IV
прямым перемножением получим
Г ~ {р»-еА» +k* (i} . (40,11)
Если А'1 (ф) периодические функции и их среднее (по времени) значение обращается в нуль, то среднее значение плотности тока
Р=тг(р“-г®г№)- <40Л2>
Найдем также плотность кинетического импульса в состоянии ijy Оператор кинетического импульса есть разность р—еА = = /д — еА. Прямым вычислением найдем
(Р* —еА») = ijiyy0 (р* — еА») $р =
~‘А*+* Ш-тщ) +k" i^ НО, 13)
Среднее по времени значение этого 4-вектора, которое обозначим через д», есть
(40'14)
Его квадрат:
<7а = таф, т» = т у^1—, (40,15)
т, играет роль «эффективной массы» электрона в поле. Сравнив
(40,14) и (40,12), мы видим, что
(40,16)
Отметим также, что условие нормировки (40,10), выраженное с помощью вектора q, имеет вид
J ty’p'typ d3x = (2я)3 б (q' —q) (40,17)
(переход от (40,10) к (40,17) проще всего произвести в указанной выше специальной системе отсчета).
§41. Движение спина во внешнем поле
Переход к квазиклассическому приближению в уравнении Дирака производится также, как и в нерелятивистской теории. В уравнении второго порядка (32,7а) подставляем if в виде1)
