Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не будем рассматривать в этой книге вопрос о введении внешнего поля в волновые уравнения частиц с отличным от 73 спином, поскольку он не имеет прямого физического смысла — реальные частицы с такими спинами являются адронами и их электромагнитные взаимодействия не могут быть описаны волновыми уравнениями. В этой связи следует также отметить, что эти уравнения могут приводить и к физически противоречивым результатам. Так, волновое уравнение для частиц со спином О приводит к появлению комплексных (с мнимыми частями обоих знаков) уровней энергии в поле достаточно глубокой потенциальной ямы. Волновое уравнение для частиц со спином 3/2 ПРИ_ водит к нарушению причинности, проявляющемуся в появлении решений, распространяющихся со сверхсветовой скоростью.
Задача
Определить уровни энергии электрона в постоянном магнитном поле. Решение. Векторный потенциал Ах = Аг — 0, А1) = Нх (поле Я направлено по оси г). Сохраняются (наряду с энергией) компоненты ру, pz обобщен-
ного импульса.
Воспользуемся уравнением второго порядка для вспомогательной функции ф (см (32,8)) и примем, что ф есть собственная функция оператора (с собственным значением о=±1), а также операторов ру, рг. Уравнение для ф имеет вид
+ Ру)2—еЯа} Ф =(е2—m2—pi) ф.
Это уравнение по форме совпадает с уравнением Шредингера для линейного осциллятора Собственные значения е определяются формулой
е2—m2—pl = \ е \ Н (2я+ 1) — еНа, п = О, 1,2, ...
(ср. III, § 112). Отметим, что волновая функция г|э, которую следует опреде-
лить из ф по формуле (32,8), не является собственной функцией оператора —в соответствии с тем, что для движущейся частицы спин не является сохраняющейся величиной.
$ 33] РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ 1/с 149
§ 33. Разложение по степеням 1/с1)
Мы видели (§ 21), что в нерелятивистском пределе (v—*-0)
две компоненты (х) биспинОра ,Ф=(^) обращаются в нуль.
Поэтому при малых скоростях электрона х<^Ф- Это дает воз-
можность получить приближенное уравнение, содержащее только двухкомпонентную величину ф, путем формального разложения волновой функции по степеням 1/с.
Исходим из уравнения Дирака для электрона во внешнем поле в виде
i^=jca (р— уА)+Ртс2 + еф|г|э. (33,1)
В релятивистской энергии частицы содержится также и ее энергия покоя тс2. Для перехода к нерелятивистскому приближению она должна быть исключена, для чего вместо ф вводим функцию г|/ согласно
г|} = г|/е-,тс,*/Л.
Тогда
(i^ + mc2) ф' = jccc (р — jA) + |3тс2 + еф|ф'. Представив "ф' в виде ф' = получим систему уравнений
еО>) ф'=со (р—уА) х', (33,2)
(ih J-еФ + 2тс2)х' = со (р - f А) ф' (33,3)
(ниже будем опускать штрихи у ф и х; это не вызовет недоразумений, так как в этом параграфе мы пользуемся только пре-
образованной функцией ф').
В первом приближении в левой стороне уравнения (33,3) оставляем лишь член 2тс2х и получаем
Х = 2^ст(р “Т А)ф (33.4)
(отметим, *Го х~ФIе)- Подстановка этого выражения в (33,2) дает
Для матриц Паули справедливо соотношение
(ста) (стЬ) = ab + i'ct [ab], (33,5)
1) В этом параграфе пользуемся обычной системой единиц.
150 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [Гл. IV
где а, Ь —произвольные векторы (см. (20,9)). В данном случае а = Ь = р—^-А, но векторное произведение [ab] не обращается в нуль в силу некоммутативности р и А:
Р —f А) (p_f А) (Р==*'Т' {[AV] + [VA]}<p = i-^-rot А-ф. Таким образом,
”(p-fA))’=(p-fA)‘-T,'H <33’6>
(где Н = rot А — магнитное поле), и для ф получается уравнение
Р‘-ТАГ+?Ф-Ж«Н]Ч'- <33'7>
Это — так называемое уравнение Паули. Оно отличается от нерелятивистского уравнения Шредингера наличием в гамильтониане последнего члена, который имеет вид потенциальной энергии магнитного диполя во внешнем поле (ср. Ill, § 111). Таким образом, в первом (по 1/с) приближении электрон ведет себя как частица, обладающая наряду с зарядом также и магнитным моментом:
l* = ^s. (33,8)
При этом гиромагнитное отношение (е/тс) вдвое больше, чем это было бы для магнитного момента, связанного с орбитальным движением1).
Плотность р = 'Ф*'Ф = ф*ф + %*%- В первом приближении второй член должен быть отброшен, так что р = | ф |2, как и должно быть для шредингеровского уравнения.
Плотность же тока:
j = С1|}*СС1|} = с (ф*а% + х*°ф)-
Согласно (33,4) подставляем сюда
К = т-AW х*= отЬ fiAv—f а)ф*-о,
2тс V v с ) л 2тс \ с
а произведения, содержащие по два множителя о, преобразуются с помощью формулы (33,5), представленной в виде
(ста) ст — a + i [ста], ст(ста) — а-)-/[аст]. (33,9)
В результате получается
j = ^ (ФУФ*— ф*Уф)—Аф*ф + rot (ф*стф), (33,10)
х) Этот замечательный результат был получен Дираком в 1928 г. Двухкомпонентная волновая функция, удовлетворяющая уравнению (33,7), была введена В. Паули (1927) еще до открытия Дираком его уравнения.
$ 33] РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ 1/с 151
в согласии с выражением III (115,4) из нерелятивистской теории.
Найдем теперь второе приближение, продолжив разложение до членов ~1 /с21). Будем предполагать при этом, что имеется только электрическое внешнее поле (А = 0).
Прежде всего замечаем, что с учетом членов ~1/са плотность
