Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
В ультрарелятивистском случае формулы (37,3—5) могут быть существенно упрощены (D. R. Yentiie, D. G. Ravenhall, R. N. Wilson, 1954).
Пусть падающий электрон поляризован, скажем, вдоль направления движения п. Для плоской волны с определенным значением па спинор \ ( = (ф + х)/К2) пропорционален тому же трехмерному спинору w, который фигурировал в стандартном пред-
г) Функция /¦'(0) не выражается в замкнутом виде через элементарные Функции. Оказывается, однако, возможным записать ее в виде определенного Двойного интеграла—см. указанную выше статью.
170
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл. IV
ставлении волны. Поэтому связь между спинорными амплитудами падающей и рассеянной волн в новом представлении по-прежнему осуществляется тем же оператором /.
В результате рассеяния поляризация поворачивается вместе с импульсом, приобретая направление п'. Воздействие оператора f на спиновую волновую функцию электрона сводится поэтому к повороту спина на угол 0 (угол между п и п') вокруг оси v. В свою очередь такой поворот эквивалентен повороту системы координат вокруг той же оси в обратном направлении, т. е. на угол —0. Отсюда следует, что оператор } должен совпадать (с точностью до коэффициента) с оператором, осуществляющим преобразование волновой функции при указанном изменении системы координат, т. е. с оператором (18,17) с заменой 0—— 0. Сравнив (37,3) с (18,17), находим, что должно быть
!=-*¦ tg|. (38,2)
Таким образом, в ультрарелятивистском пределе
}= Л(0)[1 — itgy-va] . (38,3)
Выражение для А (0) (37,4) тоже может быть упрощено, если воспользоваться возникающим в том же пределе соотношением между фазами 8Х и 8_х. Для его вывода замечаем, что уравнения (35,4) для функций fug после вычеркивания членов с т становятся инвариантными относительно замены
х —-х, f-*g, g-^-f,
не затрагивающей параметров самой частицы или поля. Поэтому должно быть fx/gx= — g-v.lt-х, и после подстановки асимптотических выражений находим
tg ( + би) = —ctg (pr — i?+ 8_и) ,
6„=8_и— (I —/) "2—h ^ ^ Ч—2") ¦гс»
откуда
2(6 2(6
е * = е (38,4)
Используя это соотношение (и заменяя в первом члене суммы в (37,4) индекс суммирования I на /—1), получим
л (0) = 5k Ё / :1) [Л (c°s6) + Л-1 (cos 0)]. (38,5)
§39] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 171
Из (38,2) следует, что Де(ЛВ*) = 0. Это значит, что в рассматриваемом приближении сечение не зависит от начальной поляризации частиц, а неполяризованный пучок остается непо-ляризованным и после рассеяния (см. формулы III (140,8—10)). Отметим также, что при 0 —> я выражение Л (0) (38,5) стремится к нулю как (it — 0)2 (напомним, что Pt (—1) = (— 1)')-Вместе с ним стремится к нулю также и сечение
Перечисленные свойства исчезают, разумеется, в следующих приближениях по малой величине m/е. В частности, анализ показывает, что при 0—>я сечение стремится к пределу, пропорциональному (т'е)2.
Для кулонового поля в ультрарелятивистском случае фазы 6И не зависят от энергии, как это видно из (36,19)г). Поэтому в чисто кулоновом поле сечение рассеяния при е^>т имеет вид
где т — функция только от угла.
§ 39. Система волновых функций непрерывного спектра для рассеяния в кулоновом поле
В дальнейшем (§§ 95, 96) будут рассмотрены различные неупругие процессы, происходящие при рассеянии ультрареля-тивистских электронов в поле тяжелого (Za~l) ядра. Для вычисления соответствующих матричных элементов нам понадобятся волновые функции, асимптотическая (при г—>¦ оо) форма которых складывается из плоской и сферической волн.
Мы увидим, что в ультрарелятивистском случае (энергия электрона е^>т) основную роль в рассеянии играют передачи импульса (от электрона-ядру) q = |р' — р| ~ т. Этим значениям q отвечают «прицельные расстояния» р~1/<7~1/т, причем электрон отклоняется на углы2)
В терминах координат г (расстояние от центра) и 2 = rcos0 это означает область
(38,6)
da = —do
е2
(38,7)
pE=rsin0~— , р (г — z) = рг (1 — cos0) ~ 1. (39,2)
т) Это видно и непосредственно из уравнений (38,1), поскольку для кулонового поля заменой г —»-г'/в энергию е можно вообще устранить из уравнений.
2) В этом параграфе р обозначает | р |.
172 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ Lfti. IV
При этом r~e/ma, т. е. мы имеем дело с областью больших расстояний.
Напишем уравнение Дирака в виде
(e-t/-mP + iaV)i|3 = 0t U = — ^. (39,3)
Преобразуем его в уравнение второго порядка, для чего применим к (39,3) оператор (е — U — ia\):
(A + p* — 2sU)ty = (-iaVU-U2)ty. (39,4)
Поскольку в рассматриваемой области r^>Za/e, то U<^е. В первом приближении можно пренебречь в (39,4) правой стороной. Остающееся уравнение,
А + Р2+^Ь=° (39-5)
по своей форме совпадает с нерелятивистским уравнением Шредингера в кулоновом поле
отличаясь от него лишь очевидным изменением обозначения параметров (в «потенциальной энергии» — лишний множитель е/т). Поэтому мы можем сразу написать его решение, имеющее требуемый асимптотический вид (см. III, § 136).
Так, волновая функция, содержащая асимптотически плоскую (с>оефГ) и расходящуюся сферическую волны, имеет вид
^p)==cl^eiprF(^~ . 1, t(pr —рг)),
