Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
V I ZaeN (39>6>
C = enZae/2pr
где F — вырожденная гипергеометрическая функция, а «Ер —постоянная биспинорная амплитуда плоской волны, нормированная принятым нами условием (23,4)
ииер - - 2т, (39,7)
Волновая функция (39,6) нормирована таким образом, что плоская волна в ее асимптотическом выражении имеет обычный вид
V 2е
отвечающий «одной частице в единичном объеме». Поскольку в ультрарелятивистском случае ря*е, то в (39,6) можно
§ 39] ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ 173
положить Zae/p л; Za:
e'pr F (iZa, 1, i (рг -рг)), (39,8)
у 2г
С = е2ая/2Г(1 _/2а).
Обратим внимание на то, что хотя мы рассматриваем расстояния настолько большие, что pr '^> 1, заменить в (39,8) гипер-геометрическую функцию ее асимптотическим выражением нельзя: аргументом функции F является не рг, а величина рг (1—cos0), не предполагающаяся нами большой х).
В применениях оказывается необходимым также следующее приближение в г(\ имеющее спинорную структуру, отличную от структуры (39,8) (сводящейся к множителю и&Р). Для его вычисления пишем гр в виде
У = у=е^(иЕРЕ + ф).
В правой стороне уравнения (39,4) сохраняем теперь член с первой степенью U, и для функции ф получаем уравнение
(A + 2/pV — 2eU) ф = — iuEPa\U. (39,9)
Его решение можно найти, заметив, что функция F удовлетворяет уравнению
(А -|- 2/pV — 2eU) F = 0
(в чем можно убедиться, подставив (39,6) в (39,5)). Применив к этому уравнению операцию получим
(Д + 2?'pY — 2eU) \F = 2bF^U.
Сравнив с уравнением (39,9), находим
Ф = — -^(«V) «ер/7.
Выпишем окончательное выражение для г|)‘+> и для такой же функции содержащей в своем асимптотическом выражении
сходящуюся сферическую волну:
^ = УТг ^ ^iZa’ 1 ’ 1 (рГ РГ)^ “ер ’
^ =УШв!РГ (* ~^V) F(~iZa’ ~i(pr + pr))«ep, (39,10)
С =enza/2r (1 — iZa)
(W. H. Furry, 1934). Выпишем также аналогичные функции (^-е-р) с «отрицательной частотой», которые понадобятся при
1) В Ш, § 135 мы интересовались сколь угодно большими г, и поэтому
^кая замена была возможна для любых углов 0.
174
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл. IV
рассмотрении процессов с участием позитронов. Их можно получить из ^функций ij7ep заменой р—> — р, е—> — е, причем р = | р | не меняется (в силу последнего обстоятельства параметр iZa гипергеометрической функции меняет знак, как это видно из первоначального выражения (39,6), в котором этот параметр фигурирует в виде iZae/p). Таким образом, получим
чДО-р =y=e~lpr (l v) F(— iZa, 1, i (pr+pr)) м_8_р,
¦ф(_-е)-р=^|=е-('Рг (l +-j?v) F(iZa, I, — i (pr—pr)) u_e-P, (39,11) С = e~nZal2T [ \ + iZa).
По поводу произведенных вычислений надо еще сделать следующее замечание. Поставленное нами асимптотическое условие само по себе отнюдь не достаточно для однозначного выбора решения волнового уравнения (это ясно хотя бы из того, что всегда можно добавить к г|\ не нарушая этого условия, любую кулонову расходящуюся сферическую волну). Написав решение уравнения (39,5) в виде (39,6), мы тем самым молчаливо подразумевали выбор решения, конечного при г — 0. Такое требование было необходимым в III, §§ 135, 136, где рассматривались решения точного уравнения Шредингера, справедливые во всем пространстве1). В данном же случае уравнение (39,5) относится лишь к больдгам расстояниям, и потому произведенный отбор решения нуждается в дополнительном обосновании.
Оно дается тем фактом, что большим «прицельным расстояниям» p = rsin0 соответствуют большие орбитальные моменты / и малые углы рассеяния 0: при р~ \/т имеем
I ~ рр~ рг—If 1 *
а угол 0 можно оценить квазиклассическим способом:
Р J dr р е
Это значит, что в разложении г|з по сферическим волнам будут фигурировать (в рассматриваемой области г и 6) в основном волны с указанными большими значениями /. Но сферическая волна с большим I заведомо убывает до малых значений при приближении к началу координат на «классически недостижимые» (благодаря центробежному барьеру) расстояния г<^.1/е. Поэтому, если производить «сшивание» решения уравнения (39,5) с решением точного уравнения (39,4) на малых расстояниях при
*) В изложенном в III, § 135 ходе решения это условие было обеспечено выбором частного интеграла вида (135,1) вместо общей суммы интегралов с различными значениями Pi, (52.
§ 40] ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 175
г ~ ги где то граничное условие для решения
уравнения (39,5) будет заключаться в требовании его малости, чем и оправдывается сделанный нами выбор.
Задача
Для кулонова поля притяжения с Za<^l найти поправку (относительного порядка: —¦ Za) к нерелятивистской волновой функции дискретного спектра.
Решение. Скорость электрона в связанном состоянии v —¦ Za, так что при Za 1 в нулевом приближении волновая функция — нерелятивистская, т. е.
ф = ((ф„р,
где фнр—шредингеровская функция, а и—биспинор вида и= ^ ^ J , где w —>
спинор, описывающий поляризационное состояние электрона. В следующем приближении пишем: лр = -j- и, подставляя в (39,4), находим для ¦фЧ)
уравнение
(-^Г д-! е« !+т) = ( v т) (аи)
где е„ — нерелятивистский дискретный уровень энергии. Здесь опущены члены относительного порядка: (Za)2 (следует учитывать, что в нерелятивистском
