Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
¦ф = ueis^
1) Пользуемся сначала обычными единицами.
ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
179
(где S—скаляр, а и — медленно меняющийся биспинор). При этом предполагается выполненным обычное условие квазиклассичности: импульс частицы должен мало меняться на расстояниях порядка длины волны Д/|р|.
В нулевом приближении по % получается обычное классическое релятивистское уравнение Гамильтона —Якоби для действия S. При этом все члены, содержащие спин (и пропорциональные %), выпадают из уравнений движения. Спин появился бы лишь в следующем приближении по %. Другими словами, влияние магнитного момента электрона на его движение—всегда того же порядка величины, что и квантовые поправки. Это вполне естественно ввиду чисто квантовой природы спина, величина которого пропорциональна %.
В связи с такой ситуацией приобретает смысл постановка задачи о поведении спина электрона, совершающего заданное квазиклассическое движение во внешнем поле. Решение этой задачи содержится в следующем приближении по % в уравнении Дирака. Мы применим, однако, другой способ, более наглядный и не связанный непосредственно с уравнением Дирака. Он обладает тем преимуществом, что позволяет рассматривать движение любой частицы, в том числе обладающей «аномальным» гиромагнитным отношением, не описываемым уравнением Дирака.
Наша цель состоит в установлении «уравнения движения» для спина при произвольном (заданном) движении частицы. Начнем с нерелятивистского случая.
Нерелятивистский гамильтониан частицы во внешнем поле
Я = Я' —(хоН, (41,1)
где в Н' включены все члены, не содержащие спина (см. III,
§ 111); (х—магнитный момент частицы. Этот вид гамильтониана
не связан с определенным сортом частиц. Для электронов \i—efi/2mc (заряд электрона е = — | е |!), а у нуклонов |х содержит еще и «аномальную» часть1)
<41>2>
Согласно общим правилам квантовой механики операторное Уравнение движения спина получается из формулы
s = ±(tfs-stf) =4г(Яо—аН). (41,3)
% 2%
Подставив сюда (41,1), находим
h = ~ Нк Кет,- —ff,cr*) = — -jr eikiHk<yt.
д ) ^ учетом радиационных поправок очень малая «аномальная часть» со-Ржится также и в магнитном моменте электрона.
180
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл, IV
ИЛИ
? 2{i
[SH], (41,4)
Усредним это операторное равенство по состоянию квазиклас-сического волнового пакета, движущегося вдоль заданной траектории, Эта операция сводится к замене оператора спина его средним значением s, а вектора Н—функцией Н (t), представляющей собой изменение магнитного поля в точке нахождения частицы (волнового пакета) при ее заданном движении вдоль траектории. В нерелятивистском приближении (т. е. в рамках уравнения Паули) s = o/2 есть оператор спина частицы в ее системе покоя, среднее значение которого мы обозначили в § 29 через ?/2. Таким образом, мы приходим к уравнению
§- = ^[W(t)]. (41,5)
В таком виде это уравнение имеет, по существу, чисто классический характер. Оно означает, что вектор магнитного момента прецессируег вокруг направления поля с угловой скоростью
— 2jj.H//V оставаясь неизменным по величине1).
В том же нерелятивистском случае скорость v частицы меняется согласно уравнению
d\ е г
т. е, вектор v вращается вокруг направления Н с угловой скоростью— еН/тс. Если ц'=0, то \и = е%12тс, и эта угловая скорость совпадает со скоростью —2м.Н/Й- вращения вектора ?; другими словами, вектор поляризации сохраняет постоянный угол с направлением движения (мы увидим ниже, что этот результат остается в силе и в релятивистском случае).
Произведем теперь релятивистское обобщение уравнения (41,5). Для ковариантного описания поляризации надо при этом пользоваться введенным в § 29 4-вектором а, а уравнение движения спина дочжно определять производную da/dx по собственному времени %а).
I) Классически уравнение (41,5) получается непосредственно из равенства
, U,
-ЗГ^цН],
где М—момент импульса системы, |х—ее магнитный момент; [цН] есть дейст-вующий на систему момент сил. Положив M = Ц = = получим
(41,5). . ,
а) Ниже снова полагаем с—1, Л = 1.
ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
181
Возможный вид этого уравнения может быть установлен уже из соображений релятивистской инвариантности, если учесть, что его правая часть должна быть линейна и однородна по тензору электромагнитного поля Fllv и по 4-вектору а», а, помимо них, может содержать лишь 4-скорость и11 = р»/т. Этим условиям удовлетворяет лишь уравнение вида
^ = aF'**av + pu(*/?v4a*, (41,6)
где а, |3 — постоянные коэффициенты. Легко видеть, что в силу условия = 0 и антисимметричности тензора F^ (так что Fllvulluv = 0) никаких других выражений требуемого вида составить нельзя.
При v—>0 это уравнение должно совпадать с (41,5). Положив ац = (0, ?), «й = (1, 0), т = 1, получим
Сравнив с (41,5), находим: а = 2ц,.
Для определения (5 учтем, чтоа,1ым=0. Продифференцировав это равенство по х и воспользовавшись классическим уравнением движения заряда в поле
dll^1 |-ч[I Y)
m-fr=eF и*
(см. II, § 23), получим
da^ dlt^“ В rHIv ^ 7',LLV
-гг = - =¦- “•* -йг F=иг
Поэтому, умножив уравнение (41,6) с обеих сторон на %, учтя равенство = 1 и сократив общий множитель F^u^a^, получим
