Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Р = | ф |!2 + I X |:2 = I ф Г + 4^51 <*уФI *•
Это выражение отличается от шредингеровского. Имея в виду найти (во втором приближении) волновое уравнение, аналогичное уравнению Шредингера, мы должны ввести вместо ср другую (двухкомпонентную) функцию фшр, для которой сохраняющийся
во времени интеграл имел бы вид ^|фшр|2^3л:, как это должно быть для уравнения Шредингера.
Для выяснения требуемого преобразования пишем условие
j ФшрФшрd3* = j |ф*ф +4^2 (Уф*-о) (<ТУф)| d3x
и производим интегрирование по частям:
^ (Уф®-а) (оуц>)й3х = — ^ Ф* (oV) (oV) yd3x — — ^ q>*Aq>d3x
(или то же с переставленными ф* и ф*). Таким образом,
j ФшрФшр d3x = j |ф*ф — (ф*дф + фАф*)} d3x,
откуда видно, что
Фшр = (l +g^v) Ф* Ф = (1— 8^а)фшР- (33,11)
Для упрощения записи будем считать, что состояние стационарно, т. е. заменим оператор ifld/dt энергией е (с вычтенной энергией покоя). В следующем (после (33,4)) приближении имеем из (33,3):
5t = -i(1-S?)<wP)'P-
Это надо поставить в (33,2), после чего заменить ф на фшр согласно (33,11), опуская все время члены более высокого порядка, чем 1/с2. После простого вычисления получим уравнение для фшр в виде ефшр = Яфшр, где гамильтониан
^=й+^-ет+ет{(°Р)ф(0Р)-т(раф+фра)}-
1) Ниже следуем методу В. Б. Берестецкого и Л. Д. Ландау (1949).
152
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл. IV
Выражение в фигурных скобках преобразуется с помощью формул
(ор) Ф (ор) = Фр2 + (арф) (ар) = Фр2 + i% (аЕ) (ар), р2ф _ фр* _ —Дгдф _|_ 2i^-Ep
(где Е=—УФ—электрическое поле). Окончательное выражение для гамильтониана:
^ ~ 2т ^ ~ 8т*с* —(33,12)
Последние три члена —искомые поправки порядка 1 /са. Первый из них —следствие релятивистской зависимости кинетической энергии от импульса (разложение разности cYpiJrm2c2—тс%)• Второй член, который может быть назван энергией спин-орби-тального взаимодействия,—’Энергия взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическим полем1). Последний же член отличен от нуля только в тех точках, где находятся заряды, создающие внешнее поле; так, для кулонового поля точечного заряда Ze: ДФ = —AnZeb(r) (С. G. Darwin, 1928).
Если электрическое поле центрально-симметрично, то
Е = —— —
г dr ’
и оператор спин-орбитального взаимодействия можно представить в виде
е% г -'1d<D %2 dU т~ /00 10v
4^«[rP]d7 = 2^l7,s- <33’13)
Здесь 1 —оператор орбитального момента, s = l/aa — оператор спина электрона, а U = еФ—потенциальная энергия электрона в поле.
х) Введя магнитный момент (33,8) и скорость v = p/m, получим эту энергию в виде —ifi [Ev]. На первый взгляд этот результат может показаться неестественным, так как при переходе в систему отсчета, движущуюся вместе с частицей, возникает магнитное поле Н = —[Ev], в котором магнитный момент
должен был бы иметь энергию—fiH. В действительности появление множителя 1/а («томасовская половинка», L. Thomas, 1926) связано с общими требованиями релятивистской инвариантности в сочетании со специфическими свойствами электрона как «спинорной» частицы с присущим ей значением гиромагнитного отношения (см. § 41).
S 34] ТОНКАЯ СТРУКТУРА УРОВНЕЙ АТОМА ВОДОРОДА 153
§ 34. Тонкая структура уровней атома водорода
Определим релятивистские поправки к уровням энергии атома водорода —электрона в кулоновом поле неподвижного ядра1). Скорость электрона в атоме водорода у/с~а<^1. Поэтому искомые поправки можно вычислить путем применения теории возмущений—как среднее по невозмущенному состоянию (т. е. по нерелятивистской волновой функции) от релятивистских членов в приближенном гамильтониане (33,12). Для несколько большей общности положим заряд ядра равным Ze, предполагая при этом, однако, что и Za<^l.
Напряженность поля ядра E = Zer/r3, а его потенциал удовлетворяет уравнению АФ = —4nZe6(r). Подставив это в (33,12) (последние три члена) и учитывая отрицательность заряда электрона, получим оператор возмущения
<'=-i?+w1s+»e<r>-
Поскольку, согласно нерелятивистскому уравнению Шре-дингера,
р2\р — 2т \ г|>
(где 80=—mZ3a2/2rt2 —невозмущенный уровень, л —главное квантовое число), то среднее значение
р4 = 4т2(е0+^)\
Эта величина, как и среднее значение второго члена в (34,1), вычисляется с помощью формул (см. III, § 36)
—г maZ —5 (mtxZ)2
/г2 ’ n3(* + 7«)’
(m«2)3 (34-2)
r ~ n3/(/ + 1/2)(/+l)
(последняя относится к 1ф 0); собственное значение
+ при 1ф 0,
Is — 0 при 1 = 0.
Наконец, усреднение третьего члена производится с помощью формул
^ (0)= ~jfn~ (~n~")S/" ’ / = 0: ^(°) = 0, /=^=0. (34,3)
Влияние движения ядра на величину этих поправок представляет собой «ффект более высокого порядка малости, которым мы здесь не интересуемся.
154
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл. IV
Результат простого вычисления с использованием написанных формул может быть представлен во всех случаях (при всех у и I) в виде
д __1______3\ (34 4)
2rtJ V/+1/* 4 п)‘
Формула (34,4) и дает искомую релятивистскую поправку к энергии водородных уровней —энергию тонкой структуры1). Напомним, что в нерелятивистской теории имеет место как вырождение по направлениям спина, так и кулоновское вырождение по /. Тонкая структура (спин-орбитальное взаимодействие) снимает это вырождение, но не полностью, — остаются двукратно взаимно вырожденными уровни с одинаковыми п, /, но разными / = /±1/2 (невырожденными оказываются при этом лишь уровни с наибольшим возможным при заданном п значении / = /тах — =/тах + 1/2 = л —V2- Таким образом, последовательность водородных уровней с учетом тонкой структуры такова:
