Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Ь/2;
2s./„ 2p4t, 2p,/s;
3s»/,. 3/)i/2, 3p»/2, 3rii/2, 3ds/s.
Уровень с главным квантовым числом п расщепляется на п компонент тонкой структуры.
Напомним, что в нерелятивистской механике «случайное» вырождение уровней энергии в кулоновом поле связано с существованием специфического для этого поля закона сохранения: сохраняется величина А, оператор которой
(см. III (36,30)). Со специфическим законом сохранения связано и остающееся в релятивистском случае двукратное вырождение: гамильтониан уравнения Дирака Я = ар + (3/п—е2/г коммутативен с оператором
/^S+^Sf+l^ (Я-mP)
(М. Н. Johnson, В. A. Lippmann, 1950). В нерелятивистском пределе этот оператор / —2А.
х) Эта формула (как и более точная формула (36,10)) была получена А. Зоммерфельдом (A. Somtnerfeld) из старой теории Бора еще до создания квантовой механики.
ДВИЖЕНИЕ в ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
155
Мы увидим в дальнейшем (§ 123), что это оставшееся вырождение снимается так называемыми радиационными поправками (лэмбовский сдвиг), не учитываемыми уравнением Дирака одноэлектронной задачи.
Забегая вперед, укажем уже здесь, что по порядку величины эти поправки ~ mZ4a5 In (1/а). Поправка же второго порядка по спин-орбитальному взаимодействию была бы ~ т (Za)6, так что ее отношение к радиационным поправкам ~ Z2а/1п(1/а). Для водорода (Z— 1) это отношение заведомо мало, и потому задача о точном решении уравнения Дирака в этом случае не имеет смысла. Эта задача, однако, может иметь смысл для уровней энергии электрона в поле ядра с большим Z (§ 36).
§ 35. Движение в центрально-симметричном поле
Рассмотрим движение электрона в центрально-симметричном электрическом поле.
Поскольку при движении в центральном поле сохраняются момент и четность (относительно центра поля, выбранного в качестве начала координат), то к угловой зависимости волновых функций такого движения относится все сказанное в § 24 по поводу сферических волн свободных частиц. Меняются лишь радиальные функции. Соответственно этому будем искать волновую функцию стационарных состояний (в стандартном представлении) в виде
где l — j± Vs> I' = 2j —I, а степень —1 введена для дальнейшего удобства.
Уравнение Дирака в стандартном представлении дает следующую систему уравнений для г|э и %:
где U (г) = еФ (г) — потенциальная энергия электрона в поле. Вычисление результата подстановки сюда выражений (35,1) сводится к вычислению правых сторон этих уравнений.
Выразив шаровой спинор Q,i'm через Q,tm согласно
(35,1)
(е — т—?/) <р = ар%, (г + т — ?/)х = стРФ. (35,2)
(см. (24,8)), пишем:
(ар) х = — г (ар) (or) j-
166 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [Гл. IV
Преобразовав теперь произведение (op) (or) с помощью формулы
(33,5), находим после раскрытия векторных операций
(ар) % = — i {рг + го [рг]} f QJtM ¦¦
= {—divr —(rV)-o[rp]}f jg' + yg + folj
где f = [rp] — оператор орбитального момента; штрих означает дифференцирование по г. Собственные значения произведения <т 1 == 21 s равны
3 Г/—V» при / = /—72,
21s = ja — la—sa — / (/ + 1) —1(1+ 1)—-j — ) -з, / • , 1,
7 ' 4 I—/—7а при / = / + 7я.
С целью единообразной записи формул в обоих случаях (I = /±72) удобно ввести обозначение
— (/ + 1/а)==—(^+1) ПРИ / = ^ + 1/2> (35 3)
+ (/ + Va) — l при / = /—7а.
Число х пробегает все целые значения, исключая значение О
(причем положительные числа отвечают случаю / = /—1/2, а отри-
цательные—случаю / = / + 7а)- Тогда 1о = —(1-)-х), так что
(ор)х = —
'llm•
При подстановке этого выражения в первое из уравнений
(35,2) шаровой спинор QJlm в обеих сторонах уравнения сокращается. Поступив аналогичным образом и со вторым уравнением, получим в результате следующую систему для радиальных функций:
— (j)g = 0.
g’-{—72g+(B — m — U)f = О,
(35,4)
или
(35,5)
(fr)'+y(fr)-(B + m-U)gr = О,
(gr)‘' — у (gr) + (е—т~U) fг = 0.
Исследуем поведение / и g на малых расстояниях, предположив, что поле U (г) возрастает при г—>-0 быстрее, чем 1/г. Тогда в области малых г уравнения (35,4) принимают вид
r + ug=0, g'-uf=о.
Они имеют вещественные решения вида
/ = const-sin ^ U dr + б) , g = const-cos ^ U dr + б) , (35,6)
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
157
где б—произвольная постоянная. Эти функции осциллируют при г-*-0, не стремясь ни к какому пределу. Легко видеть, что эта ситуация соответствует в нерелятивистской теории «падению» частицы на центр.
Прежде всего отметим, что область малых расстояний не накладывает в этом случае ограничений на выбор решения: условие при г = О для осциллирующей функции отсутствует и выбор постоянной б остается произвольным (правильного же поведения волновой функции в области больших г можно добиться при любом е надлежащим выбором б). Можно устранить эту неопределенность, рассматривая сингулярный (при г = 0) потенциал как предел при г0—>- 0 потенциала, «обрезанного» на некотором г0 (т. е. равного U (г) при г > г0 и U (г0) при г < г0). При конечном г0 получается, разумеется, определенная система уровней энергии. Однако, энергия основного состояния стремится к — оо при г0 —>-0.
В нерелятивистской теории это как раз и означает «падение» на центр, поскольку частица на глубоком уровне локализована в малой области вокруг г = 0. В релятивистской же теории такая ситуация вообще недопустима, так как означает неустойчивость системы относительно самопроизвольного рождения электрон-позитронных пар. Действительно, если в вакууме для рождения такой пары нужна энергия, превышающая 2т, то в поле достаточна уже меньшая энергия. При наличии связанного состояния электрона с энергией е < т возможно рождение пары с затратой лишь энергии е + т < 2т, причем рождается свободный позитрон и электрон в связанном состоянии. Если же энергия уровня связанного состояния е<—т, то такое поле может рождать позитроны (с энергией —е > т) самопроизвольно, без затраты энергии от внешнего источника. В рассматриваемом же поле при г0—>-0 имеется бесконечное множество таких «аномальных» уровней с е < —т. Поэтому поля с потенциалом Ф (г), возрастающим при г—>-0 быстрее чем l/г, в теории Дирака вообще нельзя рассматривать. Подчеркнем, что это относится к потенциалам обоего знака. Хотя «падение» происходит, конечно, лишь в случае притяжения, но поскольку знак U— еФ зависит также йот знака заряда, то в одном случае аномально ведут себя электронные, а в другом—позитронцые уровни; во втором случае поле рождает свободные электроны.
