Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим далее поведение волновых функций на больших расстояниях. Если поле U (г) достаточно быстро убывает при Т—>-оо, то при определении асимптотического вида волновых Функций на больших расстояниях можно полностью пренебречь Иолем в уравнениях. При е > т, т. е. в области непрерывного сПектра, мы возвращаемся тогда к уравнению свободного движения, так что асимптотическая форма волновых функций (сфери-
158 ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [Гл. IV
ческих волн) отличается от таковой для свободной частицы лишь появлением дополнительных «фазовых сдвигов», значения которых определяются видом поля на близких расстояниях1). Эти сдвиги зависят от значений j и I или, что то же, от введенного выше числа х (а также, разумеется, и от энергии е). Обозначив их посредством д-л и используя выражение свободной сферической волны (24,7), мы можем сразу написать искомую асимптотическую формулу
или, с учетом определения (35,1):
f | = О j/S"™’ (рг-^+ 6») (35,8)
(где = —т2)- Общий коэффициент здесь отвечает норми-
ровке радиальных функций согласно (24,5).
Волновые же функции дискретного спектра (е < т) при г —>- оо экспоненциально затухают по закону
/ = “ /S=i^ = Tex v(-rV^Z^)> (35,9)
где А0~постоянная.
Как и в нерелятивистской теории, фазовые сдвиги (точнее, величины е2l6* — 1) определяют амплитуду рассеяния в данном поле (об этом будет подробнее идти речь в § 37). Мы не станем исследовать здесь аналитические свойства этих величин (ср. III, § 128). Отметим лишь, что е21бх как функция энергии по-прежнему имеет полюсы в точках, соответствующих уровням связанных состояний частицы. Вычет функции е216* в таком полюсе определенным образом связан с коэффициентом в асимптотическом выражении соответствующей волновой функции дискретного спектра. Найдем эту связь, обобщающую нерелятивистскую формулу III (128,17). Необходимые вычисления вполне аналогичны произведенным в III, § 128.
Продифференцируем уравнения (35,5) по энергии:
(тгу-тй+с-"-"'!?—^
]) Ср. III, § 33. Как и в нерелятивистской теории, U (г) должно убывать быстрее, чем 1/г. Случай U ~ I/г будет рассмотрен особо в § 36.
ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ
159
Умножим эти два уравнения соответственно на rg и на—rf, а два уравнения (35,5)—соответственно на—rg и на rf, после чего все четыре уравнения сложим почленно. После всех сокращений получим
!Игя-?!)]='" </¦+*¦)•
Интегрируем это равенство по г:
о
после чего переходим к пределу г—>-оо. В силу условия нормировки интеграл в правой стороне равенства обращается в единицу. В левой же стороне учтем, что в асимптотической области функции fug связаны равенством
(rf)'
rg--
е + /л
(получающимся из (35,5) при пренебрежении членами с U и с 1 /г). В результате пол>чим
w)'S-'-f(w)' 1-L (35J0)
8+/Л
Эта формула лишь коэффициентом (e-f-m вместо 2т) отличается от аналогичной нерелятивистской формулы (дляфункции х)-Поэтому нет необходимости повторять все дальнейшие вычисления, и мы сразу приведем окончательную формулу, справедливую вблизи точки е = е0 (е0 — уровень энергии):
(_1), _yL /Щ5, ,35,11)
где А0—коэффициент в асимптотическом выражении (35,9).
Задача
Найти предельный вид волновой функции при малых г в поле U ~r~s, S < 1.
Решение. Для свободной частицы имеем при малых r\ f~rl, g~r1', так что при I < V: f^>g, а при I > Г: f<^.g. Делаем предположение (оправдывающееся результатом), что такое соотношение сохраняется и в рассматриваемом поле. При I < I' (т. е. / = /—1/2, х= — I—1) в первом из уравнений (35,4) член с g можно опустить, так что по-прежнему f ~ г1. Из второго же уравнения имеем тогда g~rfU, т. е. g~ rl+1~s = r1' ~s. Аналогичным образом рассматривается случай I > V. В результате находим
при l<l’: f ~ г1, g~rl'~s;
при l>l': f~rl~s, g~r1'.
160
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл. IV
§ 36. Движение в кулоновом поле
Изучение свойств движения в наиболее важном случае куло-нового поля мы начнем с исследования поведения волновых функций на малых расстояниях. Будем говорить для определенности о поле притяжения: U = — Za/r1).
При малых г в уравнениях (35,5) можно опустить члены с е ± т\ тогда
(fr)' + yfr-^gr = 0,
(gr)'~ygr + ^fr = 0.
Обе функции fr и gr входят в каждое из этих уравнений равноправным образом. Поэтому обе ищем в виде одинаковых степеней г: fr = arv, gr = brw. Подстановка в уравнения дает
а(у + х)—bZa = Q, aZa-Jrb(y—х)=0,
откуда
у2 = х2— (Za)2. (36,1)
Пусть (Za)2 < х2. Тогда у вещественно, причем из двух значений должно быть выбрано положительное: соответствующее решение либо не расходится при г = 0, либо расходится менее быстро, чем другое. Такой выбор можно обосновать путем рассмотрения потенциала, обрезанного (как было объяснено в предыдущем параграфе) на некотором малом г0, с дальнейшим переходом к пределу г0—>0 (ср. аналогичные рассуждения в III, § 35). Таким образом,
/ = ^? = const.r-'+v, (36)2)
У = Ух2 —ZW = У а + !/%у~ Z*a\
Хотя волновая функция и может обратиться при г = 0 в бесконечность (если у < 1), но интеграл от |ij>|3 остается, разумеется, сходящимся.
Если (Za)2 > х2, то оба значения у из (36,2) оказываются мнимыми. Соответствующие решения при г—>-0 осциллируют (как r_1cos(|v J In г), что снова отвечает, как уже было объяснено выше, недопустимой в релятивистской теории ситуации «падения на центр». Так как х2^1, то это значит, что чисто кулоново поле можно рассматривать в теории Дирака лишь при Za< 1, т. е. Z< 137.
