Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 51

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 247 >> Следующая

Pip = Чи1 (30’12)
(при этом Sp р = 2е). Выражение этой матрицы можно написать, заметив, что она должна удовлетворять уравнениям
(е + ро)р = р(е + ро) = 0.
Отсюда видно, что
р = е — ро. (30,13)
При рассмотрении различных процессов взаимодействия нейтрино могут фигурировать наряду с другими частицами (со спином l/t), обладающими массой и поэтому описывающимися
140 ФЕРМИОНЫ 1Гл. III
четырехкомпонентными волновыми функциями. В таких случаях удобно соблюсти единообразие обозначений, введя формально и для нейтрино «биспинорную» волновую функцию, две из компонент которой, однако, равны нулю: яр = ^ ^ j . Но такая форма яр,
вообще говоря, нарушится при переходе к другому (не спинор-ному) представлению. Это затруднение можно обойти, заметив, что в спинорном представлении имеем тождественно
(т)* = °)’
Где I — произвольный «балластный» спинор, выпадающий из ответа (матрица у5 из (22,18)). Поэтому условие истинной «двух-компонентности» нейтрино будет соблюдено при описании его четырехкомпонентным яр в любом представлении, если понимать под яр решение уравнения Дирака с /п = 0:
(YP)* = 0. (30,14)
подчиненное дополнительному условию г/2 (1 +у5)'Ф — Ф- ИлИ
у6гр = яр. (30,15)
Это условие можно учесть, условившись заменять яр и яр везде, где они должны были бы входить, следующим образом:
ip -> У, (30,16)
Так, 4-вектор плотности тока запишется в виде рамена (30,16)
в выражении яр-^ф)
= T^(1_:V5) Y'M1 + Y5)1l5 = y +Y5)^- (30,17)
В соответствии с этим же правилом четырехрядная матрица плотности нейтрино должна быть записана как
Р = т 0 + Y5) (УР) (1 “ Y5) (1 + Y6) (УР)- (30,18)
В спинорном представлении бна сводится, как и следовало, к двухрядной матрице (30,13)
/о о\
Р стр 0 j '
Аналогичные формулы для антинейтрино отличаются от написанных изменением знака перед у5.
Нейтрино —электрически нейтральная частица. Нейтрино с описанными выше свойствами не является, однако, истинно нейтральной частицей. Отметим в этой связи, что «нейтринное поле», описываемое двухкомпонентным спинором, по числу возможных
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ а/а
141
для него состояний частиц (но, разумеется, не по другим своим физическим свойствам) эквивалентно истинно нейтральному полю, описываемому четырехкомпонентным биспинором. Вместо состояний частиц и античастиц с определенными спиральностями здесь имелось бы столько же состояний одной частицы с двумя возможными значениями спиральности и автоматически соблюдалась бы симметрия по отношению к инверсии. Отметим, однако, что равенство нулю массы «четырехкомпонентного» нейтрино имело бы, так сказать, «случайный» характер, поскольку оно не было бы связано со свойствами симметрии описывающего его волнового уравнения (допускающего также и отличную от нуля массу). Поэтому учет различных взаимодействий такой частицы автоматически привел бы к появлению хотя и малой, но все же не равной строго нулю массы покоя.
§ 31. Волновое уравнение для частицы со спином 3/2
Частица со спином 3/2 описывается в своей системе покоя трехмерным симметричным спинором 3-го ранга (с 2s+ 1=4 независимыми компонентами). Соответственно в произвольной системе отсчета в ее описании могут участвовать 4-спиноры ?“Pv, T]apv и ?“Pv> Xapv> каждый из которых симметричен по всем одинаковым (пунктирным или непунктирным) индексам; при инверсии спиноры в первой и во второй паре переходят друг в друга.
Для того чтобы в системе покоя 4-спиноры 1“^ и т]^ переходили в 3-спиноры, симметричные по всем трем индексам, они должны удовлетворять условиям
P“4pv = °> Pap^V = °- (31,1)
Действительно, в системе покоя
paP-^p08? =m8g
(как это видно из (20,1)). Поэтому условия (31,1) приводят к равенствам
в?г|'вр, = 0, 6PS'“PV = 0,
где буквы со штрихом обозначают соответствующие трехмерные спиноры; другими словами, эти спиноры дают нуль при упрощении по индексам оф, а это и означает, что они симметричны по этим индексам, а потому и по всем трем индексам.
Дифференциальная связь между спинорами ? и т] устанавливается соотношениями
PflvSgH/nrigj. (31,2)
142
ФЕРМИОНЫ
[Гл. III
Симметричность левых сторон этих уравнений (по индексам у или а, б) обеспечивается условиями (31,1), в силу которых они обращаются в нуль при упрощении по всем индексам. В системе покоя трехмерные спиноры %' и г^' в силу уравнений (31,2) совпадают. Исключив из уравнений (31,2) г| или |, найдем, что каждая из компонент спиноров § и г| удовлетворяет уравнению второго порядка
(p*-m2)la Ру = 0. (31,3)
Совокупность уравнений (31,1—2) составляет полную систему волновых уравнений для частицы со спином V21)- Добавление спиноров ?, % не привело бы ни к чему новому. Они строятся согласно
jngaflv = тх-ар • = .
Уравнения частиц со спином 3/2 могут быть сформулированы также и в ином виде, в котором используются векторные аспекты свойств спиноров (W. Rarita, J. Schwinger, 1941; А С. Давыдов, И. Е. Тамм, 1942). Паре спинорных индексов ajj сопоставляется один четырехмерный векторный индекс ц. Поэтому компонентам спинора 3-го ранга можно привести в соответствие компоненты «смешанных» величин г|$ с одним векторным и одним спинорным индексом. Аналогично, спинору -rjP^v ставятся в соответствие величины т)$, а совокупности обоих спиноров —«векторный» биспинор ^ (биспинорный индекс не выписываем). Волновое уравнение запишется тогда в виде «уравнения Дирака» для каждой из векторных компонент
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed