Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(ур—т) г|зц = 0 (31,4)
в дополнительным условием
Y4i = 0. (31,5)
Используя выражения для матриц в спинорном представлении и формулы связи между компонентами спинора и вектора (18,6—7), легко убедиться в том, что уравнения (31,2) содержатся в (31,4), а условие (31,5) эквивалентно условию симметричности спиноров и r)“Pv по индексам |3у или PY- Умножив уравнение (31,4) на у11, получим ввиду (31,5)
yVM>h=o
или, воспользовавшись правилами коммутации матриц _______________ 2gIMvpv% — Y>vY4h = 0. (31,6)
1) О лагранжевой формулировке этих уравнений см. указанную на стр. 77 статью Фирца и Паули.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ •/.
143
Второй член снова обращается в нуль в силу (31,5), а первый дает
= (31,7)
Легко видеть, что это условие, автоматически следующее из (31,4—5), эквивалентно условиям (31,1).
Наконец, еще один способ формулировки волнового уравнения состоит во введении величин 1рш (i, k, I = 1, 2, 3, 4) с
тремя биспинорными индексами, по которым ipш симметричны (К. Bargtnann, Е. P. Wigner, 1948). Совокупность этих величин эквивалентна совокупности компонент всех четырех спиноров ?, г), ?, %. Волновое уравнение записывается в виде системы «уравнений Дирака»
= (31,8)
Легко видеть, что эти уравнения уже приводят к нужному числу (четыре) независимых компонент 1рш, и постановка еще дополнительных условий не требуется. Действительно, в системе покоя (31,8) сводятся к равенствам
в силу которых обращаются в нуль (в стандартном представлении) все компоненты с i, k, I — 3, 4, т. е. 1рш сводятся к компонентам трехмерного спинора 3-го ранга.
Изложенные результаты очевидным образом обобщаются для частиц с любым полуцелым спином s. При описании уравнениями вида (31,4—5) волновая функция будет симметричным 4-тензором ранга (2s—1)/2 с одним биспинорным индексом. При описании же уравнениями вида (31,8) волновая функция будет иметь 2s биспинорных индексов, по которым она симметрична.
ГЛАВА IV
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
§ 32. Уравнение Дирака для электрона во внешнем поле
Волновые уравнения свободных частиц по существу выражают собой лишь те свойства, которые связаны с общими требованиями пространственно-временной симметрии. Происходящие же с частицами физические процессы зависят от свойств их взаимодействий.
Описание электромагнитных взаимодействий частиц в релятивистской квантовой теории оказывается возможным путем обобщения способа, применяемого для этой цели в классической и нерелятивистской квантовой теориях.
Этот метод, однако, применим для описания электромагнитных взаимодействий лишь частиц, не способных к сильным взаимодействиям. Сюда относятся электроны (и позитроны) и, таким образом, для существующей теории оказывается доступной вся огромная область квантовой электродинамики электронов. Не способны к сильным взаимодействиям также и нестабильные частицы — мюоны; они описываются той же квантовой электродинамикой в области явлений, происходящих за времена, малые по сравнению с продолжительностью их жизни (связанной со слабыми взаимодействиями).
В этой главе мы рассмотрим круг задач квантовой электродинамики, ограниченный рамками теории одной частицы. Это — задачи, в которых число частиц не меняется, а взаимодействие может быть введено при помощи понятия внешнего электромагнитного поля. Помимо условий, позволяющих рассматривать внешнее поле как заданное, пределы применимости такой теории ограничены также условиями, связанными с так называемыми радиационными поправками.
Волновое уравнение электрона в заданном внешнем поле можно получить так же, как это делается в нерелятивистской теории (III, § 111). Пусть Лд = (Ф, А)—4-потенциал внешнего электромагнитного поля (А —векторный, Ф — скалярный потенциалы). Мы получим искомое уравнение, заменив в уравнении Дирака оператор 4-импульса р разностью р — еА, где е—заряд
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
145
частицых):
[V(P — еА) — т]ф = 0. (32,1)
Соответствующий этому уравнению гамильтониан получается путем такой же замены из (21,13):
Н = се (р — еА) + |3т -|-еФ. (32,2)
Инвариантность уравнения Дирака при калибровочном преобразовании потенциалов электромагнитного поля выражается в том, что его вид остается неизменным, если одновременно с преобразованием А—*A-{-ip% (где % — произвольная функция) преобразовать волновую функцию согласно 2)
г]? -—(32,3)
(ср. аналогичное преобразование для уравнения Шредингера III, § 1П).
Плотность тока, выраженная через волновую функцию, дается
той же формулой (21,11) j=tyyty, что и в отсутствие внешнего поля. Легко видеть, что при повторении с уравнением (32,1) (и написанным ниже уравнением (32,4)) тех же выкладок, которые были произведены при выводе (21,11), внешнее поле выпадает, и уравнение непрерывности получается для прежнего выражения тока.
Произведем над уравнением (32,1) операцию зарядового сопряжения. Для этого пишем уравнение
ty[y(p + eA) + m] = 0, (32,4)
которое получается комплексным сопряжением из (32,1) так же, как было получено в свое время уравнение (21,9) (при этом надо помнить, что 4-вектор А веществен). Переписав это уравнение в виде
