Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 53

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 247 >> Следующая

[у (р + еА) + m]ty = О,
умножив его слева на матрицу Uc и воспользовавшись соотношениями (26,3), найдем
[т (р-\-еА) — т] (Сг|з) = 0. (32,5)
Таким образом, зарядово-сопряженная волновая функция удовлетворяет уравнению, отличающемуся от исходного изменением знака заряда. С другой стороны, операция зарядового
сопряжения означает переход от частиц к античастицам. Мы
х) Подразумевается заряд вместе со своим знаком, так что для электрона е~—[ е |.
*) Преобразование (32,3) с функцией % (t, г) иногда называют «локальным калибровочным преобразованием» в отличие от «глобального калибровочного преобразования» (12,10) с постоянной фазой а.
146
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл. IV
видим, что если частицы обладают электрическим зарядом, то знаки заряда электрона и позитрона автоматически оказываются противоположными.
Уравнение первого порядка (32,1) может быть преобразовано в уравнения второго порядка путем применения к (32,1) оператора у (р — еА) + т:
где сг,дл'—антисимметричный «матричный 4-тензор» (28,2). При умножении на a|iV можно произвести антисимметризацию, т. е. заменить
(f^v = ^i4v—дуАц — тензор электромагнитного поля). В результате получим уравнение второго порядка в виде
Произведение /гцУо',п’ можно записать в трехмерном виде, выразив его через компоненты
Появление в этих уравнениях членов, содержащих поля Е и Н, связано с наличием у частицы спина; мы вернемся к их обсуждению в следующем параграфе.
Среди решений уравнения второго порядка имеются, конечно, также и «лишние», не удовлетворяющие исходному уравнению первого порядка (32,1) (они представляют собой решения уравнения (32,1) с измененным знаком перед т). Отбор нужных
[vV (Рч — <?Ац) (Pv — еАч) — tn2] ф = 0. Произведение yuyv заменяем на
Y V = у (yV+ y V) -Ь J (Vм yv — yV) = g*v + °^v>
{pv. — eAv) (pv - eAv) -* Y {(Рц — eAц) (pv — eAv)} _ =
~~2e (—A\iPv-\- Pv^n — Pn^v + AvPy.) =
= \ie (dvAn~dllAv) = — -^-Fllv
(32,6)
Тогда
cr^v= (a, i2), f nv _ (_E, H).
[(p—eA)2—m2 + eSH—leccE] \p = 0, (32,7)
или, в обычных единицах,
[(
2_m2c2 + ^SH-г|з = 0.
(32,7а)
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
147
решений в конкретных случаях обычно очевиден и не представляет труда. Регулярный метод отбора состоит в том, что если ф есть произвольное решение уравнения второго порядка, то решение правильного уравнения первого порядка есть
[V (Р — еЛ) + т]ф. (32,8)
Действительно, умножив это равенство на у(р—еА) — т, мы видим, что правая часть обращается в нуль, если ф удовлетворяет уравнению (32,6).
Следует подчеркнуть, что способ введения внешнего поля в релятивистское волновое уравнение путем замены р на р—еА не самоочевиден. В его проведении мы по существу опирались на дополнительный принцип: указанная замена должна производиться в уравнениях первого порядка. Именно в результате этого в уравнении (32,6) появились дополнительные члены, которые не возникли бы, если бы замена была произведена непосредственно в уравнении второго порядка.
Среди стационарных решений уравнения Дирака во внешнем поле могут иметься состояния как непрерывного, так и дискретного спектра. Как и в нерелятивистской теории, состояния непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению, при котором частица может находиться на бесконечности, где ее можно рассматривать как свободную. Поскольку собственные значения гамильтониана свободной частицы равны ±V~P2 + m2, то ясно, что непрерывный спектр собственных значений энергии лежит при г^т и при е^Г —т. Если же —т < е < т, то частица не может находиться на бесконечности, так что движение финитно, и состояние принадлежит дискретному спектру.
Как и для свободных частиц, волновые функции с «положительной частотой» (е > 0) и с «отрицательной частотой» (е < 0) определенным образом входят в схему вторичного квантования. Для частиц во внешнем поле эта схема естественно обобщается путем замены плоских волн в формулах (25,1) соответственно нормированными собственными функциями уравнения Дирака i|>n+) и относящимися к положительным (е^+)) и отрицатель-
ным (—ejf’) частотам:
Ф = 2 {«Ж+> ехР (—ten't) tlT’exp (t'e^-V)},
^ - - - (32>9) Ф = 2 K<+) exp (iejt’t) + finitfT) exp (—te<r>/)}.
П
При этом надо иметь в виду, что по мере углубления потенциальной ямы уровни энергии могут перейти границу е = 0, т. е. из положительных сделаться отрицательными (или, для потенциала другого знака, из отрицательных —положительными). Тем
148
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
[Гл IV
не менее из соображений непрерывности надо продолжать считать эти уровни электронными (а не позитронными). Другими словами, к электронным следует относить все состояния, которые при бесконечно медленном выключении поля примыкают к положительной границе непрерывного спектра (г = т).
Хотя уравнение Дирака для электрона во внешнем поле и дает возможность, как уже было сказано, решать широкий круг задач квантовой электродинамики, необходимо в то же время подчеркнуть, что применимость понятия внешнего поля в рамках одночастичной задачи в релятивистской теории все же ограничена. Эта ограниченность связана с самопроизвольным рождением электрон-позитронных пар, возникающем в достаточно сильных полях (см. ниже, в §§ 35, 36).
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed