Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(107,3)
(107,4)
§ 108] ТОЖДЕСТВО УОРДА 525
Для перехода к компонентам Фурье замечаем, что если проинтегрировать определение (106,3) по dikdips/(2n)s, то получим
(/> + ?, р\ k)~ = ^АГц(0, 0, х3)е~‘'Рх*й% =
= j/(^(x, х, х')е‘Р1х-х">й*(х—х'), (107,6)
откуда видно, что интеграл в левой стороне представляет собой компоненту Фурье функции К^(х, х, х'). Таким образом, взяв компоненту Фурье от обеих сторон уравнения (107,5), использовав затем определение (106,9) и вспомнив, что ур — т = G-1 (р), получим
G-Цр) % (р) = 1 - te2 j yv<§ (р +k)T»(P + k,P]k)$ (р) • Duv (А) -Цг •
Наконец, умножив это равенство справа на Ъ~1 (р), приходим вновь к уравнению (107,2).
§ 108. Тождество Уорда
Еще одна связь между фотонным пропагатором и вершинной частью, более простая, чем уравнение Дайсона, возникает как следствие калибровочной инвариантности.
Для ее вывода совершим калибровочное преобразование (102,8), предполагая %(*) — б%(*) бесконечно малой простой (неоператорной) функцией 4-координат х. Тогда электронный пропагатор изменится на величину
№{х, x’) = ie$(x — x')[бх(*) — бХ(*')]• (Ю8,1)
Подчеркнем, что калибровочное преобразование такого вида нарушает пространственно-временную однородность и функция № зависит уже от аргументов х и х' по отдельности, а не только от разкости х — х'. Ее разложение Фурье происходит поэтому по переменным х и х' в отдельности. Другими словами, в импульсном представлении ЬЪ является функцией двух 4-импульсов:
Pi) = $ $ (х, х')е{р*х-{р^'dlxd^x',
Подставив сюда (108,1) и произведя интегрирование по dixd4% или (?=я — х'), получим
№(p + q, p) = ie&x{q)[$(p) — ${p + q)]. (108,2)
С другой стороны, при том же калибровочном преобразовании к оператору Ар,{х) добавляется функция
МП*)=- ддгвх,. 008.3)
526 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ (Гл. XI
которую можно рассматривать как бесконечно малое внешнее поле. В импульсном представлении:
= (108,4)
Величину 8$ можно вычислить и как изменение пропагатора под влиянием этого поля. С точностью до величин первого порядка по 8% это изменение изобразится, очевидно, одной скелетной диаграммой:
Ju-
iS&(p + q,p) =
РЧ
Здесь жирный пунктир — эффективная линия внешнего поля, т. е. ей сопоставляется множитель (см. (103,15))
(q) + 8 Af (q) g>VJi fo).
Но 4-вектор 8Ляе> (<?) продолен (по отношению к q), а тензор поперечен. Поэтому второй член здесь обращается в нуль, так что остается
1*
1 <108'5>
iS4/(p+q,p)=-^.------- 1 -
p+q р
где тонкому пунктиру сопоставляется обычным образом просто поле 8Л<<?>. В аналитической форме:
bS = eS(p + q)Y»(p + q, р\ q)%{p)-bA$. (108,6)
Подставив сюда (108,4) и сравнив с (108,2), находим соотношение
3(Р + <7)-3(Р) = — ${p + q)Tll{p + q, р\ q)V(p)-qrL или для обратных матриц
$-1(p + q)-$~4p)=q^(p + q> р; я) ОВД
(Я. S. Green, 1953).
Устремив в этом равенстве q —*¦ 0 и сравнив коэффициенты при бесконечно малом q^ в обеих его сторонах, получим
?-3-хф) = ГЦр, р; 0). (108,8)
Это — так называемое тождество Уорда (J. G. Ward, 1950). Мы видим, что производная по импульсу от $~х(р) совпадает с вер-
§ 108]
ТОЖДЕСТВО УОРДА
527
шинным оператором при нулевой передаче импульса1). Производная же от самой функции 3(р)
Аналогичным образом можно было бы найти также и высшие производные, проводя вычисления с точностью до членов более высоких порядков по бх- Нам такие формулы, однако, не понадобятся.
Рассмотрим теперь производную дЗ* (ty/dk^ от поляризационного оператора. В отличие от функции $ (р) величина 9* (к) ка-либровочно-инвариантна и не меняется при введении фиктивного внешнего поля (108,4). Поэтому его производную нельзя вычислить тем же способом. Однако и для нее можно получить определенное диаграммное выражение.
Для этого рассмотрим первую из диаграмм, входящих в определение S',— диаграмму второго порядка
Сплошным линиям в ней отвечают множители Ю(р) и iG(p-{-k). Дифференцирование по fe/заменит второй из них на idG (p + k)/dk, а согласно тождеству (108,9) такая замена эквивалентна добавлению лишней вершины на электронной линии:
Мы видим, что в первом неисчезающем порядке искомая производная выразилась через диаграмму с тремя фотонными концами («фотонная треххвостка»). Сразу же подчеркнем, что эта диаграмма сама по себе отнюдь не дает амплитуду превращения одного фотона в два. Амплитуда такого процесса выразилась бы суммой диаграммы (108,11) и другой такой же диаграммы с измененным направлением обхода петли; согласно теореме Фарри эта сумма обращается в нуль. Сама же по себе диаграмма (108,11) не равна нулю.
Подобным образом можно дифференцировать и более сложные диаграммы, последовательно добавляя вершины с k' = 0 на все электронные линии, зависящие от k. Существуют, однако,
3^«(Р) = #(/>)[— iT>l(P’ Р’ °)]^(Р)- (108,9)
.1 к=0 I
г) В нулевом приближении, т. е, для пропагатора свободных частиц, это тождество очевидно: G-1 (р) — ур— т, и потому dG~1/dpn=ytl.
528
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
диаграммы, в которых зависимость от k имеется и во внутренних фотонных линиях, например диаграмма слева на рисунке
