Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(104,9). Вклад от этих состояний равен нулю ниже порога и отличен от нуля выше порога, что и приводит к особенности функции в самой точке порога. Эти пороговые значения, разумеется, вещественны и неотрицательны2). Поэтому и особые точки функции П (/) лежат на положительной вещественной полуоси переменной t. Если провести разрез по этой полуоси, то функция П (t) будет аналитична во всей разрезанной таким образом плоскости.
Член + <0 в знаменателе подынтегрального выражения в (111,1) показывает, что полюс t' ~t должен обходиться снизу. Иными словами, под значением функции П (t) при вещественном t следует понимать ее значение на верхнем берегу разреза. Используя правило (75,18):
________________ (11|'3>
!) Не смешивать с обозначением времени!
2) Так, точка ?2 = 0 является порогом для рождения трех (или большего нечетного числа) реальных фотонов, точка k2=4т?—порог для рождения электрон-позитронной пары и т. п.
Sill] АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФОТОННОГО ПРОПАГАТОРА 543
найдем, что для вещественных t
1шП (0^ 1шП(/ + Ю) = — яр(/). (Ш.4)
На нижнем же берегу разреза 1шП имеет обратный знак, a Rell на обоих берегах одинаково. Поэтому скачок функции П (t) на разрезе
п (t+;о) - п (t—;о)=—2ш'р (/). (Ш,5)
Само интегральное представление (111,1) можно рассматривать в этом аспекте просто как формулу Коши для аналитической функции П (t). Действительно, применим формулу Коши
к контуру
(111,6)
(111,7)
огибающему разрез. В предположении достаточно быстрого убывания П (/) на бесконечности, интеграл по большой окружности исчезает, а интегралы по берегам разреза дают следующую формулу (дисперсионное соотношение), определяющую функцию П(0 по ее мнимой части:
п«>-4 j (111.8)
о 0
Подставив сюда (111,4), получим (111,1)1).
Аналитические свойства функций 5* (t) и (t) совпадают со свойствами функции П (t), через которую они выражаются простыми формулами (104,2) и (103,21). Для &>(t) имеем
®(/)=4?(1+1Ш). (П1)9)
На вещественной полуоси (t > 0), согласно сказанному выше, надо понимать t как /-(-Ю. Мнимую часть <3)(t) можно вычислить затем с помощью (111,3) и (111,4), причем надо учесть, что согласно (110,6) П (t)/t —->-0 при t —>-0. Тогда найдем
Irn 3> (t) = — 4я26 (t) + 1ш П (0 = - 4я26 (t) —^ р (/). (111,10)
J) Дисперсионные соотношения были введены в квантовую теорию поля Гелл-Манном, Гольдбергером и Тиррингом (М. Gell-Mann, М. L. Goldberger, W. Е, Thirring, 1954).
544
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
Применив теперь к функции 3>(t) дисперсионное соотношение вида (111,8), получим для нее следующее интегральное представление:
Эту формулу называют разложением Челлена — Лемана (G. Kalleti, 1952; Н. Lehmann, 1954).
Существует тесная связь между положением разреза для функции ЯЕ> (t) (а тем самым и ее мнимой частью на разрезе), с одной стороны, и условием унитарности для амплитуды процесса a-{-b—«-c-f-d, изображаемого диаграммой (110,4), с другой стороны (эта реакция, конечно, чисто воображаемая; она не противоречит, однако, законам сохранения, и формальное условие унитарности для нее должно выполняться).
В начальном состоянии (г) этого процесса имеются две «классические» частицы а и Ь, а в конечном —две другие end. Условие унитарности (71,2)J):
суммирование в правой стороне производится по всем физическим «промежуточным» состояниям п. В данном случае этими состояниями являются, очевидно, состояния систем реальных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном k, т. е. как раз те состояния, которые фигурируют в матричных элементах в определении функции р (к1) (104,9). Амплитуды Mfi и Мц содержат соответственно множители Ж) (№) и S>* (k2), а их разность —мнимую часть Im 3)(№). Мы видим, таким образом, что уже известная нам (из (111,4)) связь между появлением у @) мнимой части и существованием указанных промежуточных состояний является следствием необходимых требований унитарности.
Мы увидим в дальнейшем, что фактические вычисления по теории возмущений функции 3) (/) (или, что то же, функции 9* (t)) удобно начать с вычисления мнимой части 3*, в которой не возникает расходящихся выражений. Но если затем вычислять функцию 3* (t) по дисперсионной формуле вида (111,8), то интеграл окажется расходящимся и понадобится производить дополнительные операции вычитания с целью удовлетворить условиям 3* (0) =0 и 3>' (0) = 0. Это вычитание можно, однако, произвести без явного оперирования с расходящимся интегралом. Для этого достаточно применить дисперсионное соотношение (111,8) не к самой функции
(111,11)
о
Тп -rtf = / (2я)« 2 T/nr;n8<‘> (Р, -Pl); (111,12)
Напомним, что амплитуды Tfi отличаются от амплитуд УИу/лишьмно жителями, — см. (64,10).
§ П2]
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА
545
3* (t), а к функции Э*у)/Р. Тогда Sy(t) представится в виде
Этот интеграл уже сходится, а получаемая таким образом функция S'{t) автоматически удовлетворяет требуемым условиям.
О соотношении вида (111,13) говорят как о дисперсионном соотношении «с двумя вычитаниями». Смысл использованного в нем перехода к функции S' [t)/P становится особенно наглядным, если записать (111,13) в виде
