Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 183

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 177 178 179 180 181 182 < 183 > 184 185 186 187 188 189 .. 247 >> Следующая

Р,
(106,12)
г) Получающиеся таким 06pa30iM диаграммы называют скелетными.
522 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [Гл. XI
с четырьмя электронными концами («электронная четыреххвостка»). Мы придем к таким диаграммам, рассмотрев функцию
Kik,im(xi> *«. ^) = <0|ТФ/(ДС1)Ф*(^)Ф1(ЛС8)ФЯ.(^)|0> (106,13)
(зависящую, конечно, лишь от разностей четырех аргументов). Ее компоненты Фурье можно представить в виде
х2; *8. xl)ei^^^P^-P'^-P‘x‘'>dixidix2dix3dlxl =
= (2п)46<4> (рг + рг — р3-pt) Kik, 1т(р3, Р*\ Pi, pt), (106,14) причем
Kik, ш (A>. Pi\ Ри Рг) =
=(2я у 8<*> (p~p3) Ъи (Pl) $km (рг)-( 2я)* № (р2-р3) $!т (Pl)$kt(pt)+
+ $in(P3)'$kr(Pi)[—irnr,st(P3, Р4-. Рй Рг)\ $sl (Pl) Ьт (/>*)• (106,15)
В выражении (106,15) первые два члена исключают из определения функции t (р3, р4; Pl, рг) диаграммы, распадающиеся на две не связанные между собой части с двумя внешними концами каждая:
Рз -*—О*—Pi Л —СУ*---Р<
или
Pk -*--О"6------Р* Рз * О---Р»
В третьем же члене множители % исключают из определения Г те части диаграммы, которые представляют собой поправки к внешним электронным линиям.
Отметим также, что по свойствам Т-произведения фермиевских г|)-операторов функции Г(р3, /?4; pit р2) обладают свойствами антисимметрии:
Г«.1Я(Л. Л: Л> Р2) = — Гш,1т(Ри /V. Ри Р*) =
= —л; р2, Pi)- (106,16)
Если импульсы рЛ, р2, р3, рА отвечают реальным частицам, то нераспадающиеся диаграммы (106,12) изображают процесс рассеяния двух электронов. Мы получим амплитуду этого процесса, сопоставив внешним концам диаграммы волновые амплитуды частиц (вместо пропагаторов Ъ)1)'.
Ш/; = МРзК(/0[ — ieTik,im(P3> /V. Ри Р»)] ui (Pi) (Л)- (Ю6,17)
Ввиду (106,16) эта амплитуда автоматически обладает должной антисимметрией по отношению к перестановкам электронов.
х) Мы увидим в дальнейшем (§ 110), что при составлении амплитуд реальных процессов не надо учитывать собственно-энергетических частей в свободных концах диаграммы.
§ 107]
УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА
523
§ 107. Уравнения Дайсона
Точные пропагаторы и вершинная часть связаны между собой определенными интегральными соотношениями. Их происхождение становится в особенности ясным из диаграммного метода.
Введенное в предыдущем параграфе понятие о неприводимости или приводимости распространяется не только на вершинные части, но и на любые другие диаграммы (или их части). Рассмотрим с этой точки зрения компактные собственно-энергетические электронные диаграммы.
Легко сообразить, что из всего бесконечного множества этих диаграмм лишь одна неприводима; это —диаграмма второго порядка
Всякое усложнение этой диаграммы может рассматриваться как введение дальнейших поправок к ее внутренним (электронной или фотонной) линиям или же к одной из ее вершин. При этом существенно, что в силу очевидной симметрии диаграммы все вершинные поправки достаточно приписывать лишь к одной (любой) из ее двух вершинх).
Поскольку, таким образом, из всех компактных собственноэнергетических электронных частей лишь одна неприводима, то совокупность всех таких частей (т. е. массовый оператор <Л) изобразится всего одной скелетной диаграммой:
р+к
х) Для ясности подчеркнем, что хотя мы получим всю требуемую совокупность диаграмм, вводя поправки лишь к одной из вершин, но для каждой определенной диаграммы структура поправочного блока, вообще говоря, различна в зависимости от того, которой из вершин он приписывается. Например:
где для одной и той же диаграммы обведены квадратами блоки, которые играют роль вершинной части при отнесении ее к правой или левой вершине.
524 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [Гл. XI
Записанное в аналитическом виде, это графическое равенство дает1) e#(p) = G-l(p) —=
= -i0§y4(p + k)T»(p + k, р; *)-®uv(*)^i. (Ю7,2)
Аналогичное выражение может быть написано и для поляризационного оператора 5\ Среди фотонных компактных собственноэнергетических частей тоже лишь одна неприводима, так что 3* представляется всего одной скелетной диаграммой:
р+к
"-ф*— = Т -<С>-Г
р
Соответствующее аналитическое равенство:
Z&d*l = D?(k)-s>ti(k)~
= ie*Sp JvMS(p + ?)rv(p-f*, р; *)»(Р)г
(биспинорные индексы в (107,2) и (107,4) опущены).
Соотношения (107,2) и (107,4) называются уравнениями Дайсона. Их можно получить также и прямым аналитическим вычислением.
Так, для вывода уравнения (107,2) рассмотрим величину
(ур-т)п (ж — *') = — i {ур -т)п <01 Тф, (х) фй(*') 10>
(р = id — оператор дифференцирования по х). Она вычисляется с помощью (102,5) точно так же, как это было сделано в § 75 при выводе уравнения (75,7) для пропагатора свободных частиц. В результате получим
(ТР-т)Л (*-*') =
= — ieyl <01 ТАv (х) ф, (х) % (*') 10> + 8ik8li) (х-х');
6-функционный член в правой стороне этого равенства такой же, как в (75,7), поскольку коммутационные соотношения при t = t' для ^-операторов в гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия одинаковы. Первый же член есть
— ieyvKJk(x, х, х'), так что можно написать (снова опуская биспинорные индексы):
(тр-/п)»(х —*') = — 1еу»Кц(х, х, х') + 6(4> (*-*')• (107,5)
!) Если в (107,1) точную вершинную часть приписать левой вершине, то » уравнении (107,2) переставятся множители у и Г. Обе формы уравнения, разумеется, по существу эквивалентны.
Предыдущая << 1 .. 177 178 179 180 181 182 < 183 > 184 185 186 187 188 189 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed