Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
В § 103 было отмечено, что эффективной внешней линии реального фотона отвечает в диаграмме множитель (103,15), или, с учетом (103,16) и (103,20),
Мы видим теперь, что ввиду (110,5—6) поправочный член здесь обращается в нуль. Другими словами, мы приходим к важному результату: во внешних фотонных линиях вообще не надо учитывать радиационных поправок.
Таким образом, естественные физические требования приводят к установлению определенных (равных нулю) значений величин !Р (0) и 51' (0). Между тем вычисление этих величин по диаграммам теории возмущений привело бы для них к расходящимся интегралам. Мы видим, что способ устранения этих бесконечностей состоит в приписывании расходящимся выражениям наперед заданных значений, устанавливаемых физическими требованиями. О такой процедуре говорят как о перенормировке соответствующих величинх).
Способ проведения этой операции можно сформулировать и в несколько иной форме. Так, для перенормировки заряда частицы вводят нефизический «затравочный» заряд ес как параметр, который входит в выражение исходного оператора электромагнитного взаимодействия, фигурирующего в формальной теории возмущений. После этого условие перенормировки формулируется как требование е2й> (k2) —> 4ле2/?? (при В —> 0), где е—истинный, физический заряд частицы. Отсюда находим связь e?Z = e2 и с ее помощью нефизическая величина ес исключается
Идея такого подхода была высказана впервые Крамерсом (Я. Kramers, 1947). Систематическое же проведение метода перенормировок в квантовой электродинамике осуществлено в работах Дайсона, Томонаеа (S. Tomonaga), Фейнмана и Швингера.
(110,6)
51' (0) = 0.
(110,7)
[1+4^ (0)^(0)]^
538
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
из формул, определяющих наблюдаемые эффекты. Потребовав же сразу Z = 1, мы тем самым производим перенормировку как бы «на ходу» и избавляемся от необходимости введения фиктивных величин даже в промежуточных выкладках.
Перейдем к выяснению условий перенормировки электронного пропагатора. Для этого рассмотрим процесс рассеяния, который может проходить через одночастичное промежуточное состояние с одним виртуальным электроном. Амплитуда такого процесса должна иметь полюс, когда квадрат суммарного 4-импульса начальных частиц Р( совпадает с квадратом массы реального электрона: Р\ — т2. Полюсной член в амплитуде возникает из диаграммы вида
где, с учетом радиационных поправок, жирная линия —точный электронный пропагатор. Это значит, что функция Ъ (р) должна иметь полюс при р2 = т2, т. е. должна иметь предельную форму
3(Р) ~ qbo- + g(ft) ПРИ Рг—*т\ (110,9)
где Zi—скалярная постоянная, a g(p) остается при р2—>-т2-конечной. Матричная структура полюсного члена в (110,9) (пропорциональность ур-\-т) является следствием того же условия унитарности, из которого возникает и само требование наличия полюса. Покажем это, одновременно выяснив важный вопрос об условиях перенормировки внешних электронных линий.
Если 55 (р) имеет предельный вид (110,9), то обратная матрица
‘$-l(p)tt~(yp — m) — (Yp — m)g(Yp — m) при р*-—*т2. (110,10) Массовый же оператор
qM = G~x — %-X/x, ^1 — (yp — m) + (yp — m)g(yp — m) (110,11)
при р2—*т2.
Эффективной внешней (скажем, входящей) электронной лиьии отвечает в диаграмме множитель (ср. (103,15))
‘U(p)=u(p) + $(p)e?(p)u(p), (110,12)
где и (р) — обычная амплитуда волновой функции электрона, удовлетворяющая уравнению Дирака (ур — т)и = 0. В силу требований релятивистской инвариантности (%, как и и,— биспи-
§ 110]
ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ
539
нор) предельное значение 41 (р) при р2—>т2 может отличаться от и (р) лишь постоянным скалярным множителем:
eU(p)=Z'u(p). (110,13)
Этот множитель 1' определенным образом связан с множителем Zx, но определить эту связь просто подстановкой (110,10—И) в (110,12) нельзя ввиду возникающей неопределенности: результат будет зависеть от порядка, в котором совершается предельный переход в различных множителях в (110,12).
Можно, однако, обойтись без выяснения вопроса о правильном способе предельного перехода, обратившись вместо этого к условию унитарности в применении к реакции, изображаемой диаграммой (110,8). Соотношение унитарности относится, вообще говоря, не к отдельным диаграммам, а к амплитудам процессов в целом. Но при р2—полюсная диаграмма (110,8) дает основной вклад в соответствующую амплитуду М{1, так что другие диаграммы, относящиеся к той же реакции, можно не рассматривать.
В силу требований унитарности, как это было показано в § 79, одночастичное промежуточное состояние приводит к появлению в амплитуде реакции мнимой части с 6-функционным членом
in 6 (р2 — т2) 2 MfnM*in, (110,14)
поляр
где в данном случае индекс п относится к состоянию с одним реальным электроном, а суммирование производится по его поляризациям (во избежание лишних усложнений считаем, кач и в § 79, что произведена симметризация обеих сторон соотношения унитарности по спиральностям начальных и конечных частиц; тогда Mfi = Mlf). Амплитуда М/п отвечает процессу, изображаемому диаграммой
и имеет вид
