Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку 6Ф (к) —функция лишь от t = — к2, то, произведя интегрирование по углам, получим
оо
6Ф (Г) = -L j 6Ф(0 sin (г -0 d (_ 0 _ _1_ Im J m{_y2)eiryydy
о - °°
(в последнем преобразовании использована четность подынтегрального выражения как функции от у— У—t). Теперь можно сместить контур интегрирования в верхнюю полуплоскость комплексной переменной у, совместив его с разрезом функции J5 (—у2) (рис. 20). Этот разрез начинается от точки 2im и идет вверх по мнимой оси (причем физическому листу соответствует левый берег разреза). Введя вместо у новую переменную согласно у = = ix, получим
оо
6Ф (/•) = - *2 { I ш бф (л:2) е~ rxx dx.
2 л2 г
2 т
Наконец, вернувшись к интегрированию по t = x2, имеем окончательно:
оо
бф(г) = 1^7 J Im бф (t) e~rV^dt. (114,4)
4m8
§114] РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К ЗАКОНУ КУЛОНА . 555
Мнимую часть
Im 6Ф (t) = — Im S'(t) берем из (113,8) и после очевидной замены переменной находим
Ф(/¦) =7'+бФ(г) =7"| 1 j <114'5)
(Е. Uehling, R. Serber, 1935).
Входящий сюда интеграл может быть вычислен в двух предельных случаях.
Рассмотрим прежде всего малые г (тг<^.\). Разобьем интеграл от первого члена в круглой скобке на два:
°° ____ Ед “
I = ^e~'r»'t?E±dZ = \ ...d? + j +
i * i' L
причем выбрано так, что 1 hnr 1. В силу этого в пер-
вом интеграле можно положить г —0, и тогда
Е. _____
f25,-1.
1
В /3 можно, напротив, пренебречь 1 под корнем:
/2 « ^ е~гтгъ ~ = — In Сх - e~'imr^ -f 2тг Ц e~-mr^ In ?, dt,.
Ei Ei
В 'кспоненте и нижнем пределе интеграла можно положить ^ = = 0. Делая после этого замену переменной 2тг^ = х, получим
оо
/2 = — In 2?х + In ^ е~* In xdx = — In 2^ -f In ~—C, о
где С = 0,577... — постоянная Эйлера. В интеграле же от второго члена в (114,5) можно сразу положить г = 0:
00
, 1 Г уТ^гт j
3 ^ 2 J ?4 ^ 6 ’
1
Складывая все три интеграла (причем вспомогательное число ^ сокращается), получаем
-г 2а Л 1 п 5 \1 ^ 1
556
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
При mr^> 1 в интеграле существенна область ? — 1 ~ 1 /тг<^ 1. Заменой ? = 1-J- ? и соответствующими пренебрежениями он сводится к интегралу
е~2тг Г е~‘1гпг^^гУ 21 d\ = —Уле~2тг.
J 2 8 (тг)‘„
Таким образом, в этом случае1) ‘
ф" = у('+тЬ'^’ (П4'7)
Мы видим, что поляризация вакуума искажает кулоновское поле точечного заряда в области r~ l/m (= ti/mc.), где т — масса электрона. Вне этой области искажение поля убывает по экспоненциальному закону.
Сделаем еще одно замечание, имеющее общий характер. Мы подразумевали до сих пор, что радиационные поправки происходят от взаимодействия фотонного поля с электрон-позитронным. Так, приписывая внутренние замкнутые петли в фотонных собственно-энергетических диаграммах электронам, мы учитывали тем самым взаимодействие фотона с «электронным вакуумом». Но фотон взаимодействует и с полями других частиц; взаимодействие с «вакуумами» этих полей описывается такими же собственно-энергетическими диаграммами, в которых внутренние петли приписываются соответствующим частицам. Вклады таких диаграмм по порядку величины отличаются от вкладов электронных диаграмм некоторыми степенями отношения те/т, где т — масса данной частицы, а те — масса электрона.
Ближайшие по массе к электрону частицы —мюоны и пионы. Численно отношения те/т^ и те/тл близки к а. Поэтому радиационные поправки от этих частиц должны были бы учитываться вместе с электронными поправками следующих порядков. Но если для мюонов вычисление радиационных поправок с помощью существующей теории в принципе допустимо, то для пионов (являющихся сильно взаимодействующими частицами) это невозможно.
Это обстоятельство в принципе ограничивает возможность точных расчетов конкретных эффектов в существующей квантовой электродинамике. Рассмотрение же в сколь угодно высоьих приближениях поправок от одного лишь фотон-электронного взаимодействия было бы превышением над допустимой точностью.
х) Происхождение множителя е~2тг в 6Ф (г) очевидно уже из вида исходного интеграла (114,4): при больших г в нем существенны значения i вблизи нижнего предела. Другими словами, показатель экспоненциального множителя определяется положением первой особенности функции 6Ф (t).
§ 1151 ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 557
Рассмотренные в этом параграфе радиационные поправки к закону Кулона простираются, как мы видели, в области расстояний г^1/те. Мы можем теперь добавить, что полученные формулы становятся недостаточными на расстояниях г < 1 /тд (или
1 /тя), где становятся существенными также и эффекты поляризации вакуума других частиц.
§ 115. Вычисление мнимой части поляризационного оператора по интегралу Фейнмана
При прямом вычислении по диаграмме (петля на диаграмме
(113,1)) поляризационный оператор в первом приближении теории возмущений давался бы интегралом
Однако этот интеграл, взятый по всему четырехмерному р-пространству, квадратично расходится и для получения конечного результата должен быть регуляризован по описанным в § 112 правилам.
Мы не будем воспроизводить здесь полностью такой вывод, но покажем, каким образом можно вычислить по интегралу
