Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Если обозначить первый («нерегуляризованный») интеграл как 3*(t), то все выражение в правой стороне будет равно
s> (t)—p(о) — Гр’ (0).
§ 112. Регуляризация интегралов Фейнмана
Рассмотренные в предыдущем параграфе физические условия перенормировки позволяют, в принципе, получить однозначным образом конечное значение для амплитуды всякого электродинамического процесса при ее вычислении в любом приближении теории возмущений.
Ознакомимся прежде всего с характером расходимостей, возникающих в интегралах, написанных непосредственно по диаграммам Фейнмана. Важные указания на этот предмет дает подсчет степеней виртуальных 4-импульсов, входящих в подынтегральные выражения для этих интегралов.
Рассмотрим диаграмму я-го порядка (т. е. содержащую п вершин), имеющую Nе электронных и Ny фотонных внешних линий. Число Nе четно, и электронные линии образуют N J2 непрерывных последовательностей, каждая из которых начинается и заканчивается внешним концом. Число же внутренних электронных линий в каждой такой последовательности на единицу меньше числа вершин на ней; поэтому полное число внутренних электронных линий в диаграмме равно
(111,13)
о
о о
В каждую вершину входит одна фотонная линия; в iVv вершинах фотонная линия — внешняя, а в остальных п — Ny — внутренняя. Поскольку каждая внутренняя фотонная линия связывает
546
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
две вершины, то полное число таких линий равно
n~Ny
2
Каждой фотонной внутренней линии сопоставляется множитель D(k), содержащий k в степени — 2. Каждой же электронной внутренней линии сопоставляется множитель G (р), содержащий р (при р2^>т2) в степени —1. Таким образом, суммарная степень
4-импульсов в знаменателе диаграммы равна
2п— ——Ny.
Число же интегрирований (по dip или dik) в диаграмме равно числу внутренних линий, за вычетом числа п—1 налагаемых на виртуальные импульсы дополнительных условий (из п законов сохранения в вершинах один связывает импульсы внешних концов диаграммы). Учетверив, получим число интегрирований по всем компонентам 4-импульсов:
2 (ti — Ne — Ny + 2).
Наконец, разность между числом интегрирований и степенью импульсов в знаменателе интегрируемого выражения (обозначим ее через г) равна
r~i—j Nе — Ny. (112,1)
Отметим, что это число не зависит от порядка диаграммы п.
Условия г < 0 для диаграммы в целом, вообще говоря, недостаточно для сходимости интеграла; необходимо, чтобы были отрицательны аналогичные числа г' и для внутренних блоков, которые можно было бы выделить из диаграммы. Наличие блоков с г' > 0 привело бы к их расходимости, хотя остальные интегрирования в диаграмме и сходились бы при этом даже «с избытком». Условия г < 0, однако, достаточно для сходимости простейших диаграмм, в которых п — Nе-\- Nv и имеется всего одно интегрирование по dip.
Если же О, то интеграл во всяком случае расходится. При этом степень расходимости — не менее чем г, если число г четно, и не менее чем г—1, если г нечетно (уменьшение степени расходимости на 1 в последнем случае связано с обращением в нуль интеграла от произведений нечетного числа 4-векторов при интегрировании по всему 4-пространству). Степень расходимости может увеличиться при наличии внутренних блоков с г' > 0.
Отметим, что так как Ne и Ny — целые положительные числа, то из (112,1) видно, что существует лишь несколько пар значений этих чисел, при которых г^О. Перечислим простейшие
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА
547
диаграммы каждого из таких типов, но сразу же исключим из них случаи Ne = Ny~0 (вакуумные петли) и Ne~0, Ny= 1 (среднее значение вакуумного тока), поскольку они не имеют физического смысла и соответствующие диаграммы должны просто отбрасываться, как уже было указано в § 103. Остальные случаи таковы:
В первом из этих случаев расходимость квадратичная, а во всех остальных (г = 0 или /- = 1) — логарифмическая.
Диаграмма (112,2, г) —первая поправка к вершинному оператору. Она должна удовлетворять условию (110,19), которое запишем здесь в виде
Обозначим интеграл Фейнмана, записанный прямо по диаграмме, посредством Ati(p2, р^, k). Этот интеграл логарифмически расходится и сам по себе условию (112,3) не удовлетворяет. Мы, однако, получим величину, удовлетворяющую этому условию, образовав разность
Главный член расходимости в интеграле Ам'(р2, р1; k) получится, если считать в подынтегральном выражении 4-импульс виртуального фотона / сколь угодно большой величиной. Он имеет вид1)
и не зависит от значений 4-импульсов внешних линий. Поэтому в разности (112,5) расходимость сокращается и получается ко>
г=0
г=0
и(р)А>1(р, р; 0)и(р) = 0 при р2 = т2,
(112,3)
где
А^ = ГД —
(112,4)
Г yV(Y/) уД(у/) Vv d*f
/2/2/2 (2л)4
*) Полное выражение интеграла написано в § 117—см. (117,2).
548
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
нечная величина. О такой операции устранения расходимости путем вычитаний говорят как о регуляризации интеграла.
Подчеркнем, что возможность регуляризации интеграла (рг, pt] k) путем одного вычитания обеспечивается тем, что в данном случае расходимость— лишь логарифмическая, т. е. наименее сильная из всех возможных. Если бы в интеграле содержались расходимости различных порядков, то одно вычитание при k = 0 могло бы оказаться недостаточным для устранения всех расходящихся членов.
