Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
где —эффективное (с учетом поляризации вакуума) внешнее поле.
Амплитуда (116,7) описывает два канала реакции. Б канале рассеяния инвариантная переменная
t = k2 = (p.2 — <0.
Заменив же р.2—+р_, рх -~+ — р±, мы перейдем к аннигиляцион-ному каналу, отвечающему рождению пары с 4-импульсами /?_ и р+. В этом канале
t = (p„ + p+y^i4m\
Область же значений 0 < t < 4m3 — нефизическая.
Обратимся к условию унитарности (111,12). В канале рассеяния (t < 0) нет в данном случае физических промежуточных состояний: один свободный электрон не может изменить свой импульс или родить какие-либо другие частицы. Нет их, конечно, и в нефизической области. Поэтому при t < 4m2 правая сторона в равенстве (111,12) отсутствует, так что матрица Tfi (или, что то же, Mfi) эрмитова:
Mfi = M\f.
Перестановка начального и конечного состояний означает перестановку р2 и Pl, а тем самым замену k—* — k. Представив Мп в виде (116,7), имеем поэтому
iUV(b) = iW(-k).
Но Л{е) (—k) ¦= dU)* (k), так что отсюда следует, что матрица токов перехода тоже эрмитова:
________________ j/i = i*f при t < 4m2. (116,8)
*) Во избежание недоразумений напомним, что в определении (116,6) предполагается, что k—4-импульс входящей в вершину фотонной линии; для выходящей линии знак второго члена был бы обратным.
564
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
Используя свойства матриц у (21,7), легко проверить, что
(и^и,) = (игууг)*,
(и^а^и^ — — (u-lO^’u,)*.
Поэтому /*/ отличается от jfi лишь заменой функций / (t) и g(t) на комплексно-сопряженные. Из равенства (116,8) следует тогда, что эти функции вещественны. Таким образом,
Im/(0 = 1ш^(^) = 0 при t < 4m2. (116,9)
В аннигиляционном же канале (t > 4m2) состояние / — пара, которая может превратиться в пару же с другими импульсами (упругое рассеяние) или в какую-либо более сложную систему. Поэтому правая часть условия унитарности отлична от нуля, матрица Mfi (а с нею и jfi) не эрмитова, а потому формфакторы комплексны.
Аналитические свойства функций f (t) и g {t) вполне аналогичны рассмотренным в § 111 свойствам функции HP (t) (хотя это и затруднительно доказать столь же прямым способом). Эти функции аналитичны в комплексной плоскости t, разрезанной вдоль положительной вещественной оси t > 4m2, причем
= Г (0 Обусловив перенормировки (110,19), примененное к вершинному оператору (116,6), приводит к требованию
/(0)=1. (116,10)
Для того чтобы автоматически учесть это условие (при вычислении функции f (t) по ее мнимой части), надо применить дисперсионное соотношение вида (111,8) не к самой функции f(t), а к (f—\)/t. Тогда получим дисперсионное соотношение «с одним вычитанием»:
»-Г-'.-«;<»'• 0'6.П)
4т2
Для формфактора же g(t) никакие значения физическими требованиями заранее не предписываются. Поэтому для него дисперсионное соотношение пишется «без вычитаний»:
*<')=j- j <116'12>
4т2
Значение g(0) имеет важный физический смысл: оно дает поправку к магнитному моменту электрона. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рассеяние нерелятивистского электрона в постоянном, медленно меняющемся в пространстве магнитном поле.
j 117] ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА 5g5
Член в амплитуде рассеяния (116,7), связанный с формфактором g(k2), имеет вид
Ш/1 = ?ё(&) Mg’ (*)¦ (116,13)
Для чисто магнитного поля Л(е^ = (0, А); постоянство поля во времени означает, что 4-вектор № = (0, к), а медленному изменению поля в пространстве отвечают малые к (имея в виду дальнейший переход к пределу к—^0, сразу пишем в (116,13) А(е) вместо эффективного А{е)). Раскрыв выражение (116,13) и выразив его через трехмерные величины, получим
bMfi = ?g(-k*) («jjEMj) t [kAk],
где S —матрица (21,21). Произведение г [кАь] заменяем напряженностью магнитного поля Нк, после чего можно перейти к пределу к —»¦ 0. Наконец, введя нерелятивистские спинорные амплитуды wx, w2 согласно (23,12):
и2 = У2т (wl 0), и1= У 2т (^ j,
находим окончательно
бМ// = 2^§'(°)Hk - 2m (а^сга;,). (116,14)
Сравним это выражение с амплитудой рассеяния в постоянном электрическом поле со скалярным потенциалом Фк:
Mfi = — е (u^iii) Фк « — еФк -2т (wlwx).
Мы видим, что электрону в магнитном поле можно приписать дополнительную потенциальную энергию
—2^§Ч°) стНк-
Это значит, что электрон обладает «аномальным» магнитным моментом
1*'-Ж*(0) ("6.15)
(обычные единицы) в дополнение к «нормальному» дираковскому магнитному моменту е%/2тс.
§ 117. Вычисление формфакторов электрона
Обратимся к фактическому вычислению формфакторов электрона (/. Schwinger, 1949).
В нулевом приближении теории возмущений вершинный оператор 1^ = ^, т. е. электронные формфакторы
/= 1, g = 0.
566
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
Первая радиационная поправка к формфакторам определяется вершинной диаграммой
(с двумя реальными электронными концами и одним виртуальным фотонным концом). Мы начнем с вычисления мнимых частей формфакторов. Как было показано в предыдущем параграфе, они отличны от нуля лишь в аннигиляционном канале (№ > 4т2); в соответствии с этим 4-импульсы электронных концов в диаграмме (117,1) отвечают рождающимся электрону и позитрону и обозначены через р_ и —р+. Аналитическое выражение диаграммы (117,1):
