Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(113,2)
Здесь амплитуда Ми, составленная по диаграмме (113,1), есть
§ 113] ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА 551
где ец—4-вектор поляризации бозона; согласно (14,13) он удовлетворяет уравнению
e^k*1 — 0.
Амплитуде же Mni отвечает диаграмма распада бозона на пару:
I А-
Р, -Р+
Соответствующее выражение:
= 4лем./!1, /н =и(р_)у^и( — р+). (113,4)
Подставив (113,3—4) в (113,2), получим
2= ? С j»* j'efado. (113,5)
поляр
При этомр = р_ =— р+ и е = е++ е_ =2е+—импульсы и суммарная энергия пары в системе ее центра инерции; интегрирование производится по направлениям р, а суммирование —по поляризациям обеих частиц.
Усредним теперь обе стороны равенства (113,5) по поляризациям бозона. Усреднение осуществляется формулой
бцА. = — у (guv — j
(ср. (14,15)). Приняв во внимание поперечность тензора 5^ и
вектора /ц (5^v?v = 0, /^=0) и заменив ^^ = 3^, получим в
результате
21т5» = -^Ш ? C(/7*)do. (П3,6)
поляр
Суммирование по поляризациям производится обычным образом, интегрирование по do сводится к умножению на 4л, и в результате находим
2 Im 53 = <22—^Sp у,* (V/7_ + m) ^ (y/>+ — m) = — <?2 ^^(p+p_+2m2).
Введем переменную
t = ki = {p+ + p_f = 2 (m2 + /?+/>_). (113,7)
Тогда
552
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
и окончательная формула для Im 5* принимает вид
lmP(t) = — f + t^im2. (113,8)
Значение t — 4га2 — пороговое для рождения виртуальным фотоном одной электрон-позитронной пары (ср. примечание на стр. 542); в рассматриваемом приближении теории возмущений (~ е2) состояние с одной парой является единственным, которое может фигурировать в качестве промежуточного состояния в условии унитарности (113,2). В том же приближении, следовательно, при t < 4m2, правая сторона в (113,2) равна нулю, так что
1т5*(?) = 0, t < 4т2. (113,9)
По этой же причине в рассматриваемом приближении разрез для функции S' (t) в плоскости комплексного t простирается
©
О 4тг -1 0 1
Рис. 19.
лишь от точки ^ = 4т2 на вещественной оси, и эта точка должна фигурировать в качестве нижнего предела в дисперсионном интеграле (111,13). Таким образом, имеем
у«> — ] Т^Т=Я (113,10)
4 пг2
Для формулировки результата удобно ввести вместо t другую переменную, определив ее согласно
t _ (i-g)2
m2 Е
(113,11)
Это преобразование отображает верхнюю полуплоскость комплексного t на полукруг единичного радиуса в верхней полуплоскости комплексного как показано на рис. 19 (одинаковой штриховкой изображены соответствующие друг другу отрезки в обеих плоскостях). Нефизической области (0^^/га2^4) отвечает при этом полуокружность ? = е“Р, О^ф^я. Физическим же областям (i < 0 и i/m2 > 4) отвечают правый и левый вещественные радиусы.
Интеграл (113,10) проще всего вычисляется с помощью подстановки
t'/4m2= 1/(1 —х2),
§114] РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К ЗАКОНУ КУЛОНА
553
причем сначала имеем в виду случай t < 0 (тогда знаменатель в области интегрирования не обращается в нуль и мнимую добавку Ю можно опустить). Выраженный через переменную | результат интегрирования
5>(1) = ^{^ + |(| + {) + (Е + 7-4)Ш1п|}.(ПЗ,12)
Аналитическое продолжение этой формулы определит функцию S' (() и в области t > 4m2: для этого надо положить в ней ? =
— | ё е‘л (при этом логарифм дает вклад в мнимую часть: 1п| = = 1п il-j-гл)1). Для нефизической области надо положить ? = = е!ф, и тогда
, ; (113,13)
т~2~ sm2-?.
. 4m2 2
В предельном случае малых 111 (т. е. ? —> 1) эти формулы дают
= (113,14)
В обратном же случае больших 111 (т. е. Н —> 0) получим 3>(t) = — T-UIln 14. -i>4m3,
« / t m \ <113’15)
По смыслу теории возмущений полученные формулы справедливы до тех пор, пока 3,/4n<^D~1 = t/'4n. Поэтому условие применимости формул (113,15):
?тШ<§1. (113,16)
Радиационные поправки, содержащие aln(\t\/m), называют
логарифмическими.
§ 114. Радиационные поправки к закону Кулона
Исследуем на основании полученных формул радиационные поправки к закону Кулона. Эти поправки можно наглядно описать как результат поляризации вакуума вокруг точечного заряда.
Без учета поправок поле неподвижного центра (с зарядом ej дается кулоновским скалярным потенциалом Ф = А(0е> = ejr. Ком-
х) Осуществляемое таким образом аналитическое продолжение есть, как и требуется, продолжение на верхний берег разреза, поскольку полукруг на плоскости § соответствует именно верхней полуплоскости t.
554
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
© (л) 2т
поненты его трехмерного разложения Фурье:
Ф(к)^Л<*< (к) =^.
С учетом радиационных поправок это поле заменяется «эффективным полем»:
Й5Р>- 1
Af = Л«> + й)ор J~ Ар = лг + 4^ Р®А\Г (114,1)
(ср. (103,15)). Второй член и дает искомую добавку к скалярному потенциалу. В первом приближении теории возмущений для 3* (k2) надо взять полученное в предыдущем параграфе выражение, а функцию SD (к2) заменить ее нулевым приближением
а>(Л*)«0(Л*) = -§.
Таким образом, радиационная поправка к потенциалу поля
Pllc- ?0- 6Ф(к)= —gi5>(-k2). (114,2)
Для определения вида этой поправки в координатном представлении надо произвести обратное преобразование Фурье:
60(r) = Je*r6®(k)^j. (114,3)
