Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
[Y°e + iw — еуАм (г)],* Wk (г) —
-5^,(6, г, (109,23)
(J. Schwitiger, 1951). Дискретные уровни энергии Еп выступают теперь как собственные значения этого уравнения. Тем самым уравнение (109,23) становится основой регулярной процедуры для определения этих уровней.
Выразим, например, из (109,23) поправку первого порядка по 4 к дискретному уровню энергии электрона е„, полученному в результате решения уравнения Дирака
[у°еп + (W — еуАм (г)] о[з„ (г) = 0; (109,24)
волновая функция г|)п (г) пусть нормирована условием
$^>Ы3л:=1. (109,25)
Собственную функцию уравнения (109,23) запишем в виде
Уп (г) = ^ (г) + № (г), (109,26)
х) В пренебрежении радиационными поправками (г) совпадают (для состояний с одним электроном или позитроном) с волновыми функциями il>n+) или фп-) — решениями уравнения Дирака.
§ 110]
ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ
535
где ^ — поправка к \[>п (г)^ Подставив (109,26) в уравнение (109,23), умножив его слева на грга (г) и проинтегрировав по d3*1), получим искомое выражение
§ 110. Физические условия перенормировки
Излагавшаяся до сих пор в этой главе теория носила в значительной степени формальный характер. Мы оперировали со всеми величинами так, как если бы они были конечными, и намеренно не обращали внимания на встречающиеся в теории бесконечности. Между тем при фактическом вычислении функций S>, Г по теории возмущений встречаются расходящиеся интегралы, которым нельзя, без привлечения дополнительных соображений, приписать какого-либо определенного значения. В появлении таких расходимостей проявляется логическое несовершенство существующей квантовой электродинамики. Мы увидим, однако, что в этой теории можно установить определенные предписания, позволяющие однозначным образом производить «вычитание бесконечностей» и в результате получать конечные значения для всех величин, имеющих непосредственный физический смысл. В основе этих предписаний лежат очевидные физические требования, сводящиеся к тому, чтобы масса фотона была равна нулю, а заряд и масса электрона были равны их наблюдаемым значениям.
Начнем с выяснения условий, налагаемых на фотонный пропагатор.
Рассмотрим процесс рассеяния, который может происходить через одночастичные промежуточные состояния с одним виртуальным фотоном. Амплитуда такого процесса должна иметь полюс, когда квадрат суммарного 4-импульса начальных частиц Р совпадает с квадратом массы реального фотона, т. е. Р2 = 0; мы видели в § 79, что это требование следует из общего условия унитарности. Полюсный член в амплитуде возникает из диаграммы вида (79,1):
причем с учетом радиационных поправок обе части диаграммы Должны быть соединены жирной пунктирной линией (точный
S 5’ЫгМ/*(ев, г, t)daxdaxi. (109,27)
(110,1)
*) При интегрировании надо использовать самосопряженность дифференциального оператора уравнения (109,24) с целью перебросить его действие с на i))„.
536
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
(Гл. XI
фотонный пропагатор). Это значит, Что функция ?D(k2) должна иметь полюс при к2 ~ О, т. е. должно быть
3)—+-^- при k2-—>-0, (110,2)'
где Z —постоянная. Для поляризационного оператора же 5* (к2) отсюда получается согласно (103,21) условие
5>(0) = 0. (110,3)
При этом коэффициент в (110,2)
z к2
к»-
Дальнейшие ограничения на функцию 3* (k2) можно получить из анализа физического определения электрического заряда частицы. Оно состоит в том, что две классические (т. е. сколь угодно тяжелые) частицы, покоящиеся на больших расстояниях друг от друга, должны взаимодействовать по закону Кулона: U=e2/r (имеются в виду расстояния 1 /т, т — масса электрона). С другой стороны, эго взаимодействие выражается диаграммой
(с)
(а)
V
1к
Г
Cd)j/\(b)
(110,4)
где верхние и нижние линии отвечают классическим частицам. Фотонные собственно-энергетические поправки учтены на линии виртуального фотона. Всякие же другие поправки, затрагивающие линии тяжелых частиц, привели бы к обращению диаграммы в нуль. Действительно, добавление каких-либо еще внутренних линий в диаграмме (110,4) (например, соединение линий а и с или а и b фотонной линией) приводит к появлению на диаграмме линий виртуальных тяжелых частиц, которым сопоставляются соответствующие пропагаторы. Но пропагатор частицы содержит ее массу М в знаменателе и обращается в нуль при М —>¦ оо.
Из вида диаграммы (110,4) ясно (ср. § 83), что множитель е2@) (к2) в ней должен представлять собой (с точностью до знака) фурье-образ потенциала взаимодействия частиц. Статичность взаимодействия означает, что частоты виртуальных фотонов со = 0, а большим расстояниям отвечают малые волновые векторы к. Фурье-образ кулоновского потенциала есть 4ле®/к2. Наконец, поскольку функция зависит только от квадрата = со2 — к2, то
§ 110]
ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ
537
мы приходим к условию
4л
1*
(110,5)
т. е. коэффициент в (110,2) должен быть Z= 1 (знак в условии
(110,5) очевиден: S)(k~) стремится к пропагатору свободных фотонов D (k2)). Для поляризационного оператора (к2) это значит, что должно быть
Помимо известного уже нам условия (110,3), отсюда следует, что должно быть также и
