Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Важно отметить, что в излагаемой технике необходимо учитывать также и диаграммы с «замкнутыми на себя» электронными линиями, которые в обычной технике отбрасываются, как связанные с «вакуумным током». При наличии внешнего поля этот ток уже не должен обращаться в нуль в связи с вызываемой полем «поляризацией вакуума». Так, в диаграмме
Здесь, однако, надо еще уточнить смысл, придаваемый интегралу по da. Дело в том, что интегрирование фурье-компоненты функции Gu'] (т) по da сводится к взятию значения этой функции при т = 0; но функция G(??>(x) разрывна в этой точке, так что надо указать, какое именно из ее двух предельных значений должно быть взято. Для выяснения этого вопроса достаточно заметить, что интеграл (109,11) происходит от свертывания if-операторов, стоящих в одном и том же операторе тока:
Р2 е Pi
iGM(e, ра, pj =
(109,8)
wifi
= е2 И §с<г)(8> р2> р") (е — со, р"—к, р' — к)х
(109,10)
I
(109,11)
532
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
где стоит слева от ¦ф(е). Согласно определению пропагатора
(109,4) такой порядок множителей при t = t' получится, если понимать t' как ?'=? + 0, т. е. предельное значение функции Gle){t — t') — как предел при t — — 0. Иначе можно сказать,
что интеграл по da/2n в (109,11) надо понимать как
J ‘ ‘ ПРИ х~(109,12)
Массовый оператор во внешнем поле определяется так же, как в § 105: — iaS есть сумма всех компактных собственно-энер-гетических блоков. Он является теперь функцией энергии е и импульсов pt и р2 на тех концах внешних линий, которыми они соответственно входят и выходят из блока:
- 1М(е,рг,р,)
(109,13)
Поступая в точности так, как при выводе (105,6), получим уравнение
»(е, Рз. Pi)-G(e)(e, Р2. Pi) =
= jjG(e'(e, Р2, Р*М(в, Р", Р')»(е. Р'. • 009,14)
Более естественный вид этому уравнению можно придать, если вернуться к координатному представлению по пространственным переменным, введя функцию
»(е, г, г') = ^»(е, р„ (109,15)
и аналогично для других величин. Произведя в (109,14) обратное преобразование Фурье, получим
’S (е, г, г') — 0м (е, г, г') =
— J ^ Gte) (е, г, r2M(e, r2, r1)S(e, rlt г') d% d%. Применим теперь к обеим сторонам равенства оператор
Y°e — VP — ey^Aff* (х)
(е —число, р = — IV — оператор дифференцирования по координатам г). При этом надо учесть, что согласно (109,6)
[Y0e —vp —ev А(е> (x)]Gie) {е, г, r') = 6(r —г'). (109,16)
В результате получим следующее уравнение:
[Y°e — ур — еуА(е) (*)] Ъ (е, г, г') — г, гх)х
хЗ(е, rlf r')d3xl = b(r — r'). (109,17)
$ 109] ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
533
Особая ценность функции $ (е, г, г') состоит в том, что ее полюсы определяют уровни энергии электрона во внешнем поле.
Покажем это сначала для приближенной функции G{e) (е, г, г'). Подставив операторы (109,2) в определение пропагатора (109,4), получим (в точности аналогично формулам (75,12) для пропагатора свободных частиц)
г, г')
{ —i (г) (г') exp {—ге|+>(* —*')}, t>t\
| i 2 (г) (г') exp {tel,-» (t -1’)\,
t<t'
(109,18)
и после перехода к компонентам Фурье по времени
Ой (в, г, г') = ? {0-Р- + ) ¦ (Ю9,19)
п V п п )
Мы видим, что G<e)(e, г, г') как аналитическая функция е имеет на положительной вещественной полуоси полюсы, совпадающие с уровнями энергии электрона, а полюсы на отрицательной полуоси совпадают с уровнями энергии позитрона. Значения еп± > > т образуют непрерывный спектр1), и соответствующие полюсы сливаются в два разреза плоскости е: от — оо до — т и от т до + оо. На отрезке | е | < т лежат полюсы, определяющие дискретные уровни энергии.
Для точного пропагатора $(е, г, г') можно получить аналогичное разложение, выразив его через матричные элементы шре-дингеровских операторов, с которыми матричные элементы гейзенберговских ^-операторов связаны равенствами
г) j пУ — <,т j i|)(r) | rt> е~с (Еп~Ет) (109,20)
Здесь Еп — точные (т. е. со всеми радиационными поправками) уровни энергии системы во внешнем поле. Оператор ijS увеличивает, а оператор уменьшает на 1 (т. е. на + |е1) заряд системы. Это значит, что в матричных элементах <« | г|? 10> и <0 j | пУ состояния | пУ должны соответствовать равному +1 заряду системы, т. е. могут содержать, помимо одного позитрона, лишь некоторое число электрон-позитронных пар и фотонов; энергии этих состояний обозначим как \ Аналогичным образом в матричных элементах <0|i|)|n> и <м|,ф|0> состояния \пУ содержат один электрон + система пар и фотонов (энергия Е?у). Вместо
I) Предполагается, что внешнее^ поле исчезает на бесконечности.
534 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [Гл. XI
(109,18) получим теперь
— г, г') =
I —i 2 <01 Ф,- (г) | п> <л. | г|)А (г') 10> ехр {— iE^ (t — t')), t > t',
II 2 <01 % (r') I n> <n | у!?; (r) ] 0> exp {iE(n) (t — t')), t<t',
(109,21)
и отсюда
”> <» I ФИО I 0>
е-я<+» + г-0
<0|фй(г')|п><п|ф,(г) |0> г + E^—iO
(109,22)
Пусть е близко к какому-либо из дискретных уровней энергии ?{,+> (или к одному из —Е‘п'1). Тогда из всей суммы в (109,22) можно оставить лишь один соответствующий полюсный член. Подставив его затем в (109,17), мы увидим, что множители, зависящие от второго аргумента г' (при гфг’), из уравнения выпадают. В результате мы получим однородное ин-тегро-дифференциальное уравнение для функции <0 J (г) | п> (или <п | г|з(г) 10>), которую мы обозначим для краткости через ^„(г)1). Опустив индекс п, имеем
