Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
__________________ (105,4)
J) Как уже было объяснено в § 103, не надо учитывать также и диаграммы с «замкнутыми на себя» линиями, которые появились бы здесь уже во втором порядке:
516
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
Жирной сплошной линии сопоставляется (в импульсном представлении) функция i$(p), а всем сплошным и пунктирным линиям в диаграммах правой стороны равенства—пропагаторы свободных частиц соответственно iG и — iD.
Блок, заключенный между двумя электронными линиями, называют электронной собственно-энергетической частью. Как и в фотонном случае, такую часть называют компактной, если она не может быть разделена дальше на две другие собственно-энергетические части путем рассечения по одной электронной линии. Сумму всех возможных компактных частей обозначим посредством
— ieSik\ функцию cSik(p) называют массовым оператором. Так, с точностью до членов ~е4
/ \ /^*^\
+ ¦« '• + V.^.. + -Л---------------¦-
(105,5)
Путем суммирования, в точности аналогичного выводу (103,13), получим
^ (Р) — G (р) + G(p)cS (р) Ъ (р) (105,6)
(биспинорные индексы опускаем) или для обратных матриц
S-i (p) = G-1(p)~cS(p) = yp — m-c?(p). (105,7)
В § 102 уже было отмечено, что гейзенберговские ^-операторы (в противоположность г|з-операторам в представлении взаимодействия) меняются в результате калибровочного преобразования электромагнитных потенциалов. Вместе с ними оказывается калибровочно-неинвариантным также и точный электронный пропагатор Ъ. Выясним закон его калибровочного преобразования (Л. Д. Ландау, И. М. Халатников, 1952).
Заранее ясно, что изменение Ъ при калибровочном преобразовании должно выражаться через ту же величину DH), которая добавляется при этом преобразовании к фотонному пропагатору. Это становится очевидным, если заметить, что при вычислении S по диаграммам теории возмущений каждый член ряда выражается через функции D и никаких других электромагнитных величин в них не входит. Этим обстоятельством можно воспользоваться для упрощения выводов: можно делать любые частные предположения о свойствах произвольного оператора % в преобразовании
(102,8), лишь бы ответ был выражен через DU).
В результате преобразования (102,8) пропагаторы S> (103,1) и $ (105,1) переходят в
SVv — i <01Т f Ац (х) — дм (*)] [^v (*’)—dvX(*')] I °>> ,. Q4
ik
— г <01 Тг|з,- (x) e“* <x>e~(x'% (x') 10>.
$ 105] ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 517
Будем считать теперь, что операторы % усредняются независимо от всех остальных операторных множителей в Г-произведении; это предположение вполне естественно, поскольку в силу калибровочной инвариантности «поле» % не принимает никакого участия во взаимодействии. Положим также, что обращается в нуль среднее по вакууму от самого операторах: <0|х|0> = 0.
Тогда в (105,8) члены, содержащие %, отделяются и получается
+i<0|T3Mx (x)-d'vx (*')|0>, (105,9)
%i» $ik <° I Те<>х (х'> 10>. (105,10)
Дальнейший вывод произведем для бесконечно малого преобразования; чтобы подчеркнуть эту малость, будем писать 8% вместо %.
Преобразование (105,9) можно (независимо от малости 8у) записать в виде1)
-*¦ = dMd;du’ (x—x'), (105,11)
ГДЙ
(*-*') = i <0 j T Sx (x) 6X (x') 10>. (105,12)
Отсюда видно, что функция da> определяет изменение при калибровочном преобразовании продольной части фотонного пропагатора @)и). Предположение о зависимости этой функции только от разности х—х' означает, конечно, определенное ограничение на свойства оператора 8%; в общем случае вполне произвольного калибровочного преобразования пространственно-временная однородность пропагатора может нарушиться.
В преобразовании же (105,10) разлагаем экспоненциальные множители по степеням 6% с точностью до квадратичных членов:
<01 Teie6*{х) e~ie6* (х’> 10> »
« —¦j е2 <01 бх2 (х) + б%2 (х') —2Т6% (х) 6% (х') 10>.
С учетом определения (105,12) находим, таким образом, следующий закон преобразования электронного пропагатора:
+ 8$*=1ег$(х—х’)[йи) (0) — d{l) (* — *')]. (105,13)
х) Переход от (105,9) к (105,11) возможен, если функция d<?> и ее производная по t непрерывны при / = /'. В противном случае правые части этих выражений отличались бы б-функционными членами (ср. вывод формулы (75,2)). В импульсном представлении это условие эквивалентно предположению о том, что (q) убывает при | д21 —> оо быстрее, чем 1/(?2.
518
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
1Гл. XI
В импульсном представлении1):
6S (Р) = й* ]>> (?) [» (/7) - » (/>-?)] ^5 . (105,14)
При этом функция cLH) (q) связана с изменением функции 3)Ц)
согласно
{q)=q4(t) (q). (105,15)
Для электронного пропагатора можно было бы получить интегральное представление, аналогичное формуле (104,11). Его вывод основан на выражениях
4’».M=t.(0)r'iP.-^* (105,16)
для матричных элементов г|>оператора, подобных использованным в § 104 выражениям (104,6) для матричных элементов тока. В противоположность току, однако, сами ^-операторы калибровочнонеинвариантны. Поэтому и координатная зависимость вида (105,16) не имеет общего характера, а относится лишь к некоторой определенной калибровке. Тем самым относится лишь к определенной калибровке и основанное на (105,16) интегральное представление пропагатора. Более глубокая физическая причина этой ситуации состоит в том, что равенство нулю массы фотона приводит к инфракрасной катастрофе (§ 98). Вследствие этого электрон в процессе взаимодействия испускает бесконечное число мягких квантов, что в значительной степени лишает прямого смысла «одночастичный» пропагатор (105,1).
