Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА XI
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
§ 102. Операторы полей в гейзенберговском представлении
До сих пор при рассмотрении различных конкретных электродинамических процессов мы ограничивались первым неисчезающим приближением теории возмущений. Мы перейдем теперь к изучению эффектов, возникающих при учете высших приближений. Эти эффекты носят название радиационных поправок.
Более глубокое понимание структуры высших приближений может быть достигнуто на основе предварительного изучения некоторых общих свойств, которыми обладают точные (т. е. не разложенные по степеням е2) амплитуды рассеяния. Мы видели (§ 72), что последовательные члены ряда теории возмущений выражаются через операторы полей в представлении взаимодействия— операторы, временная зависимость которых определяется гамильтонианом системы свободных частиц Я0. Точные же амплитуды рассеяния более удобно выражать через операторы поля не в этом, а в гейзенберговском представлении, в котором зависимость от времени определяется сразу точным гамильтонианом системы взаимодействующих частиц Н = H0-\-V.
По общему правилу составления гейзенберговских операторов имеем
¦ф (х) = if (t, г) = ехр (iHt) of (г) ехр (— iHt) (102,1)
и также для ар(х) и А(х), причем ^(г), ...—не зависящие от времени (шредингеровские) операторы1). Сразу же отметим, что гейзенберговские операторы, взятые в одинаковые моменты времени, удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и операторы в шредингеровском представлении или в представлении взаимодействия. Действительно, имеем, например,
{$,(/, г), %(/, г')}+ =
= ехр (iHt) {if,- (г), % (г')} + ехр (—iHt) = у%8 (г— г') (102,2)
В этой главе операторы с временным аргументом будут относиться к гейзенберговскому представлению, а операторы в представлении взаимодействия будем отличать еще и дополнительным индексом int.
502
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
(ср. (75,6)). Аналогичным образом операторы гр(^, г) и A (t, г') коммутативны:
(»?,•(*, г), A(t, г')}_ =о
(в различные моменты времени это уже отнюдь не так!).
«Уравнение движения», которому удовлетворяет гейзенберговский ^-оператор, можно получить по общей формуле III (13,7):
_jiM = ^(x)-^(x)j7. (102,3)
Для гамильтониана шредингеровское и гейзенберговское представления тождественны, причем гамильтониан выражается одинаковым образом через операторы полей в обоих этих представлениях. В данном случае при вычислении правой стороны в (102,3) можно опустить в гамильтониане часть, зависящую только от оператора А (я) (гамильтониан свободного электромагнитного поля), поскольку эта часть коммутативна с ^(x). Согласно (21,13) и (43,3) имеем
Н = J (t, г) (ар + $т) -ф (t, г) d3x +
+ e$ip(f, г)(уЛ(^, г)) г|;(t, г)d3x =
= г){yp-\-m + e(yA(t, r))}^(i, r)d3x. (102,4)
Вычисляя коммутатор {Н, -ф (^, г)[_ с помощью (102,2) и устранив 8-функцию интегрированием по d3x, получим
(yp — eyA — m)ty(t, г) = 0. (102,5)
Как и следовало ожидать, оператор ip(t, г) удовлетворяет уравнению, формально совпадающему с уравнением Дирака.
Уравнение же для оператора электромагнитного поля A (t, г) заранее очевидно из соответствия с классическим случаем. В условиях осуществления этого случая (большие числа заполнения — см. § 5), после усреднения по состоянию поля операторное уравнение должно перейти в классическое уравнение Максвелла для потенциалов II (30,2). Поэтому ясно, что уравнение для оператора просто совпадает по форме с уравнением Максвелла, т. е. (при произвольной калибровке) имеем
3V3,J» (х) - d»dpAv (х) = —4пejv (х), (102,6)
где jv (х) = (х) yvi|5 (х) — оператор тока, тождественно удовлетво-
ряющий уравнению непрерывности
dv]v {х) — 0.
(102,7)
$ 102!
ОПЕРАТОРЫ В ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
503
Существенно, что уравнения (102,6) линейны по Л1* и /д, и потому не возникает вопрос о порядке следования этих операторов.
Как и аналогичные уравнения для волновых функций, система операторных уравнений (102,6—7) инвариантна относительно калибровочного преобразования
Лц (х) —Лц (х) — дцх (х), ф (х) —*- Ф (я) eie*,
^{x)-ye~i^^(x)> (102,8)
где % (я) — произвольный эрмитов оператор, коммутирующий (в один и тот же момент времени) с if)1).
Установим теперь связь между операторами в гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия. Для упрощения рассуждений удобно сделать формальное предположение (не сказывающееся на окончательном результате), что взаимодействие V (0 адиабатически «включается» от t — — оо к конечным временам. Тогда при t-*- — oo оба представления — гейзенберговское и представление взаимодействия — просто совпадают. Совпадают и соответствующие волновые функции системы Ф и Ф1п1:
Ф,„,(* = -°°) = Ф. (102,9)
С другой стороны, волновая функция в гейзенберговском представлении от времени вообще не зависит (вся временная зависимость перенесена на операторы), а в представлении взаимодей-
ствия для зависимости волновой функции от времени имеет согласно (72,7)
Фш (0 = 5 (*, - оо) ф1п1 (- оо), (102,10)
где введен оператор
S(t„ /1) = Техр|— i JV(f )dt'\ (102,11)
