Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 179

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 247 >> Следующая

где каждому заштрихованному кружку сопоставляется i‘5Vv/4л. Аналитически этот ряд запишется в виде
(тензорные индексы для краткости опущены). Но ряд в квадратных скобках вновь совпадает с рядом для к). Поэтому имеем
Умножив это равенство слева на обратный тензор (D_1)т|г и справа на (и изменив обозначения индексов), получим его в эк-
вивалентном виде:
Подчеркнем, что представление S) в виде (103,12) подразумевает, что из диаграмм можно выделить более простые блоки, которые вычисляются по общим правилам диаграммной техники. Комбинируя такие блоки друг с другом, мы получим правильные выражения для диаграмм в целом. Допустимость такого разделения составляет важную (и отнюдь не тривиальную) особенность диаграммной техники. Она связана с тем, что общий численный коэффициент в диаграмме не зависит от ее порядка.
+
+
+
+
=d{1+-?[d+dI-d+---]} <юз>12>
а>д, (*) = ?>„ (k)+dm Ik) a>„ (Щ. (юз, 13)
(103,14)
510
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
Это же свойство позволяет использовать функцию 3) (если она известна) для упрощения вычислений радиационных поправок к амплитудам различных процессов рассеяния: вместо того, чтобы рассматривать каждый раз заново диаграммы с различными поправками к внутренним фотонным линиям, мы можем просто заменить эти линии жирными, т. е. сопоставить им пропагаторы (вместо D), взяв их в требуемом приближении. *
Если фотонная линия отвечает реальному (а не виртуальному) фотону, т. е. если она является внешним концом диаграммы в целом, то после введения в нее всех собственно-энергетических поправок мы получим, как говорят, эффективную внешнюю линию. Ей отвечает выражение, отличающееся от (103,13) заменой множителя D на поляризационную амплитуду реального фотона:
+ (103,15)
Если же речь идет о линии внешнего поля, то вместо е^ здесь надо писать АЩК
Все сказанное в § 76 относительно тензорной структуры и калибровочной неоднозначности приближенного пропагатора D относится и к точной функции <2Vv Оставаясь в рамках реляти-вистки-инвариантных представлений этой функции, напишем ее общий вид в форме
<2Vv(*) = ® (*2) (ft* --+®ш ; (103,16)
первый член отвечает калибровке Ландау, а во втором члене ?5<0 — калибровочно-произвольная функция. Аналогичное представление приближенного пропагатора1):
?Vv (k) = D (62) (^v~^)+ ?>ш (k*) . (103) 17)
Заметим теперь, что продольная часть пропагатора связана с не имеющей физического смысла продольной частью 4-потенциала и не участвует во взаимодействии. Поэтому взаимодействие не меняет ее, так что должно быть
a>(i>(Jfe*) = D‘»(tf). (103,18)
Обратные тензоры, по определению, удовлетворяют равенствам
= = 6*.
!) Определение D1-1'1 в этой формуле не совпадает с определением в (76,3).
§ 104] СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА 5П
Для прямых тензоров (103,16) и (103,17) обратные тензоры с учетом (103,18) имеют вид
<103>19)
П-1___ * („ - \ I |_ к]>.кч_
b'uv — “I s^v
Из этих формул следует, что поляризационный оператор представляет собой поперечный тензор:
= [g^-^) , (103,20)
причем 3s = k? — 4n/S) или
^ ^ = k* (l — p (/c'^/A2) * (103,21)
Таким образом, поляризационный оператор является (в отличие от самого фотонного пропагатора) калибровочно-инвариантной величиной.
§ 104. Собственно-энергетическая функция фотона
Для дальнейшего исследования аналитических свойств фотонного пропагатора будет полезно ввести, наряду с поляризационным оператором, еще одну вспомогательную функцию ITMV(&), которую называют собственно-энергетической функцией фотона. Именно, fflMV/4n; определяется как сумма всех вообще (а не только компактных) собственно-энергетических фотонных частей. Изобразив эту сумму квадратиком на диаграмме, представим точный пропагатор суммой
к к + к
т. е.
П^Р
=?>»« +Ал (104,1)
Выразив отсюда ITMV в виде
1 п _ П-^бЛ^Г)-1____Г)-1
и подставив (103,16), (103,19)) и затем (103,21), получим
n,v = n(^)(^v-^), П = Т^т. (104,2)
Мы видим, что Пду (как и ^Vv) — калибровочно-инвариантный тензор.
к
512
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
Полезность величины Пцу связана с ее выражением $ координатном представлении. Его легко найти, заметив, что равенство
^(*) = DrfDrf {3>*Р (k) -D^ (k)},
с учетом следующей из (103,18) поперечности тензора g>lp — Dlp, в координатном представлении можно написать в виде
IWx —х') =
= {дцд}, — g^d0) (d'vd'p — gvрд'ад,(5) {S)Xp {х — х') — Dlp (х — х')}.
Для осуществления дифференцирования сюда надо подставить
S>lp (x-x’)-Dxp{x-x') =
= ?<01 ТА* (х) Ар (x')-TAit (х) Л?п1 (х’) | 0>. (104,3)
Мы видели в § 75, что дифференцирование Г-произведения требует, вообще говоря, осторожности ввиду его разрывного характера. Но усредняемая в (104,3) разность непрерывна вместе со своими первыми производными, так как правила коммутации для компонент операторов А'к(х) и А\п\(х) (взятых в один и тот же момент времени) одинаковы и соответствующие скачки сокращаются (ср. § 75). Поэтому дифференцирование разности (104,3) можно производить под знаком Т. Согласно (102,6) (и такому же уравнению без правой части для операторов свободного электромагнитного поля ЛГп^я)) получим в результате выражение
Предыдущая << 1 .. 173 174 175 176 177 178 < 179 > 180 181 182 183 184 185 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed