Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Е с 1 j г\ Е $ d и
и — —------?----------1, d cos 0
q' | cos 0 ’ I Ч' I 0 +u)2
Интервалу —l^cosO^l соответствует интервал
m, я,
(при преобразованиях следует помнить, что kp = kq).
Таким образом, полная вероятность излучения из единицы объема в единицу времени
W =
5=1 5 = 1 о
Е»'.=^Е|пт^{-4^г)+
где1)
« = и, = 2зЩ, Z = 2Sm*^=L= l/“ .
(kp ) “ ml /1 + 12 ' us V us
_________________ * (101,16)
Для вычисления г надо заметить предварительно, что
22 = (QlQ)2 + (a2Q)2 = a2Q2. <г=Щ}--щг} •
В этом легко убедиться, выбрав систему отсчета, в которой (a1)0 = (02)0 = 0> а векторы aj, а.2, к направлены по осям х1, х2, л:3, и заметив, что в силу kQ = 0 будет Q0 = Q3.
498
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
1Гл. X
При ?<^1 (условие применимости теории возмущений) подынтегральные выражения в (101,15) могут быть разложены по степеням Так, для первого члена разложения в Wx получается
W
е2т212 Г
I -f- и
1
ui 2(1 —j— И])2
(101,17)
причем Mj « 2 (kp)[m2. Как и должно быть, этот результат совпадает с формулой Клейна—Нишины для рассеяния фотона на электроне: положив в (101,17) —я2 = 4я/со, ?2 = 4ле2/т2а> и разделив на плотность падающего потока (64,14), мы вернемся к (86,16) (интегральное сечение рассеяния не зависит от начальной поляризации фотона)х).
Приведем также выражение для вероятности испускания 2-й гармоники (первый член разложения W2 при ?<^1):
du
Р о
(1 -j- Ч)2 «2
1 ----—
и о
1 ——
е2т2|4 Р о
3«|
и\ 2(1 + 2 их)
1
2
х1п(1+2и,) . (101,18)
X
Вообще, основной член в Ws (при не слишком больших s) пропорционален l2s.
Остановимся теперь на противоположном случае: ?^1. Параметр ? можно сделать большим, например, путем уменьшения частоты со при фиксированной напряженности поля (очевидно, что l, = eF/tm), где F — амплитуда напряженности поля). Поэтому ясно, что случай ^ ^>1 по существу сводится к процессам в постоянном однородном поле, напряженности Е и Н которого взаимно перпендикулярны и равны по величине (назовем условно такое поле скрещенным). Вероятность излучения в этом поле можно получить предельным переходом | —* оо, но проще произвести вычисления сразу для постоянного поля, взяв 4-потенциал в виде
А* = сРу,
Ф = kx, ak — 0
(101,19)
4) Указанное значение а2 отвечает нормировке 4-потенциала «на один фотон в единичном объеме». Для его определения надо приравнять со энергии классического поля с (вещественным) 4-потенциалом (101,2).
§ 101]
ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ
499
(так что FnV = kilav — kva^ — const). Точная волновая функция электрона в этом поле получается подстановкой (101,19) в (40,7—8):
* = Г1 _i_ в (Т*Ш?) "1 х
Ь L + 2 (kp) CPJ YWo
хехр| —/е2^уф3—. (101,20)
Получающийся с помощью этой функции результат является точным для излучения электрона в скрещенном поле при любой энергии электрона. Но в ультрарелятивистском случае этот результат (при надлежащей форме его представления — см. ниже) относится к излучению электрона не только в скрещенном, но и во всяком постоянном однородном электромагнитном поле, в том числе в постоянном магнитном поле (которое было рассмотрено в § 90).
Для формулировки этого утверждения заметим, что состояние частицы в произвольном постоянном однородном поле определяется столькими же квантовыми числами, что и состояние свободной частицы, и эти квантовые числа всегда можно выбрать так, чтобы при выключении поля они переходили в квантовые числа свободной частицы, т. е. ,в ее 4-импульс р* (рг = т2). Таким образом, состояние частицы в постоянном поле будет описываться постоянным 4-вектором р.
Полная интенсивность излучения, будучи инвариантной величиной, зависит лишь от инвариантов, которые можно составить из постоянных 4-тензора F^v и 4-вектора р^. Учитывая также, что Fiiv должен входить в интенсивность только вместе с зарядом е, получим три безразмерных инварианта:
^ = (F^y=-^a*{kp)\ f = (101,21)
? = -J<Vvp
В скрещенном поле f = g = 0, в то время как в общем случае отличны от нуля все три инварианта. Но если электрон — ультра-релятивистский (р0^>т), а вектор р составляет с полями Е, Н углы Q^>m/p0, то %2^>f, g (другими словами, для ультрареля-тивистской частицы почти для всех направлений р любое постоянное поле выглядит как скрещенное). Если, кроме того, напряженности поля | Е |, IН |<^т2/е (= mV/et), то |/|, Igl^l1).
*) При этом в величине х можно, с той же точностью, считать р обычным кинематическим 4-импульсом частицы.
500 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [Гл. X
В этих условиях интенсивность, вычисленная для скрещенного поля и выраженная через инвариант %, будет относиться также к излучению во всяком постоянном поле.
Инвариант % выражается через напряженности Е, Н согласно
У.2 = ~j~r {([pH] + Po^Y — (рЕ)2}-
Для постоянного магнитного поля % совпадает с введенной в § 90 величиной (90,3), так что изложенные здесь соображения дают другой способ получения результатов § 90х).
!) Подробное изложение теории различных процессов в сильных полях см. в обзорах А. И. Никчшева и В. И. Ритуса в сб. «Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле». (Труды ФЙАН, т. 111.—М.: Наука, 1979),
