Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Производная от графика в фигурной скобке представлена здесь в диаграммном виде путем введения нового графического обозначения— фиктивной трехчастичной фотонной вершины — точки, в которой сходятся три пунктира и которой сопоставляется величина
4ш = 2ikii — v»' (108,12)
Теперь можно дифференцировать любой график, добавляя на
зависящие от k линии вершины ufl или и вычисляя далее по общим правилам. Суммируя эти высшие поправки, получим
<108’|3>
где г'е^ць — сумма внутренних частей всех полученных указанным способом фотонных треххвосток.
Для дальнейшего нам понадобится еще и вторая производная поляризационного оператора. Аналогичным образом дифференцируя еще раз равенство (108,13), получим
= ^ PTV + -SW (108,14)
где ie2af — сумма внутренних частей всех «фотонных четырех-хвосток» вида
s0 \ •ув / &
Р 1егУ
/Р- v к \
(разумеется, с включением и графиков с фиктивными трехфотон ными .вершинами (108,12)).
«1091 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
52Э
§ 109. Электронный пропагатор во внешнем поле
Если система находится в заданном внешнем поле Ам(х), то точный электронный пропагатор определяется той же формулой (105,1), но в гамильтониан Й =#„-)-V, осуществляющий преобразование к гейзенберговскому представлению операторов, входит также и взаимодействие электронов с внешним полем:
V = e J A^d'x + e^ (109,1)
Поскольку внешнее поле нарушает однородность пространства и времени, то пропагатор Ъ(х, х') будет зависеть теперь уже от обоих аргументов х и х' в отдельности, а не только от их разности х — х'.
Если перейти обычным образом к представлению взаимодействия, то получится обычная диаграммная техника, в которой наряду с виртуальными фотонными линиями будут фигурировать также и линии внешнего поля. Такая техника, однако, неудобна в тех случаях, когда внешнее поле нельзя рассматривать как малое возмущение, прежде всего — когда частицы в поле могут находиться в связанных состояниях. Между тем электронный пропагатор во внешнем поле необходим в первую очередь как раз для изучения свойств связанных состояний, в частности для определения уровней энергии с учетом радиационных поправок. Для построения такого пропагатора следует исходить из представления операторов, в котором внешнее поле учитывается точно, уже в «нулевом» приближении по электрон-фотонному взаимодействию (W. Н. Furry, 1951).
В дальнейшем мы будем предполагать внешнее поле стационарным, т. е. не зависящим от времени.
Требуемое представление ^-операторов дается формулами (32,9) вторичного квантования во внешнем поле:
4><е) (*, г) = ? {а„<+> (г) ехр (— ’ (г) ехр (ie<r> 0},
(109,2)
(t, г) = ? |аЖ' (г) ехр (it^'t) + bnfn~) (г) ехр (— ie'-»*)},
П
где 'Ф{г±) (г) и в<±> — волновые функции и уровни энергии соответственно электрона и позитрона, являющиеся решениями «одночастичной» задачи — уравнения Дирака для частицы в поле. Легко понять, что операторы (109,2) являются 1|>-операторами в некотором представлении (представлении Фарра), как бы промежуточным между гейзенберговским и представлением взаимодействия.
530 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [Гл. XI
Их можно записать в виде
^’(г1, г) = ехр(г)ехр(—iH.t),
¦— А — Л ( I(Jv jWj
(t, г) = exp (iHj) 1)3 (r) exp (— iHxt),
где
#i=tf0 + e$ Л<Г(х)]Цх)сРх.
Оператор же электромагнитного поля Лд, разумеется, коммутирует со вторым членом в Нх, и потому для него представление Фарри совпадает с представлением взаимодействия.
Электронный пропагатор нулевого приближения в новом представлении определяется как
G'iV (х, х') = - I <01 Тг|^>(*) (х') |0>. (109,4)
Оператор ф(е)(^, г) удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем поле
[ур— еуАм(х) — m]if(e)(^, г) = 0, (109,5)
а функция G{e) — соответственно уравнению
[ур — eyAie)(x) — m]Gle)(x, х’) = 6(4)(х — х') (109,6)
(ср. вывод (107,5)).
Диаграммная техника, выражающая точный пропагатор '$ в виде ряда по е2, строится путем перехода от гейзенберговского представления к представлению Фарри — в точности так, как мы производили ранее переход к представлению взаимодействия. Мы получим в результате диаграммы того же вида, причем сплошным линиям будут соответствовать теперь множители iGU) (вместо iG).
Незначительное отличие в правилах записи аналитических выражений диаграмм возникает лишь в связи с тем, что в координатном представлении G(e) — функция не только от разности х — х’. В постоянном внешнем поле, однако, сохраняется однородность времени, и потому моменты tut' по-прежнему будут входить лишь в виде разности t — t'^s т, так что
QM _ QU) (Т] Г) г')
Переход к импульсному представлению осуществляется разложением Фурье по каждому из аргументов функции:
г- г'>=Шг‘p.. p.)?-|Sfw- <109'7>
Каждой линии, которой отвечает множитель iG{e) (е, р3, р,), должно приписываться теперь одно значение виртуальной энер-
§ 109]
ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
531
гии е, но два значения импульса —начальный и конечный р2:
В результате получается правило записи аналитических выражений диаграмм, в которых обычным образом производятся интегрирования по de/2n, а по dspl/(2n)3 и d3p2/(2я)3 интегрирования производятся независимо, с учетом сохранения импульса в каждой вершине. Так, например,
