Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 178

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 172 173 174 175 176 177 < 178 > 179 180 181 182 183 184 .. 247 >> Следующая

множители в усредняемых произведениях стоят под знаком хронологизации, то попарные свертки этих операторов с «внутренними» операторами AinV (х Л'п1(х2), ... будут давать фотонные про-пагаторы D^v. Таким образом, результаты усреднения выразятся совокупностями диаграмм с двумя внешними концами, составляемых по описанным в § 77 правилам, с той лишь разницей, что внешним (как и внутренним) фотонным линиям диаграммы будут отвечать теперь пропагаторы D(вместо амплитуд е реальных фотонов). В нулевом приближении, при 5=1, числитель выражения (103,7) совпадает просто с Dnv(x — х'). Следующие отличные от нуля члены будут ~ е2. Они изобразятся совокупностью диаграмм, содержащих два внешних конца и две вершины:
Вторая из этих диаграмм состоит из двух не связанных между собой частей: пунктирной линии (которой отвечает — iD№v) и замкнутой петли. Такое распадение диаграммы означает распадение соответствующего ему аналитического выражения на два незави-
ратора 5, получим
ф‘ш (- оо) 5-1 = <01510)-1 Фы (- оо).
в виде
3)^(х — х) = г
<01 T4nt (*) 4n V) s I о>
<01 S I0>
(103,7)
(72,10) для 5 и произведя усреднение с помощью теоремы Вика
+
(103,8)
В)
$ 103]
ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР
507
симых множителя. Прибавив к диаграммам (103,8) диаграмму
(линию----------) нулевого приближения и «вынеся ее за скобку»,
найдем в результате, что с точностью до членов второго порядка числитель в (103,7) равен
- |/+ <^J + --------------О--------
Выражение же <0|5|0> в знаменателе (103,7) представляет собой амплитуду «перехода» из вакуума в вакуум. Его разложение содержит поэтому лишь диаграммы без внешних концов. В нулевом приближении <0|5|0> = 1, а с точностью до членов второго порядка получим
{/+ О}
Разделив с той же точностью числитель на знаменатель, найдем, что фигурная скобка сокращается и остается
----- + —о—
Таким образом, диаграмма с отсоединенной петлей выпадает из ответа. Этот результат имеет общий характер. Вдумавшись в способ построения диаграмм, отвечающих числителю и знаменателю в (103,7), нетрудно понять, что роль знаменателя <0jS|0> сводится к тому, что в любом порядке теории возмущений точный пропагатор будет изображаться лишь диаграммами, не содержащими отделенных друг от друга частей.
Заметим, что диаграммы без внешних концов (замкнутые петли) вообще не имеют физического смысла и их не следует учитывать даже независимо от того, что они выпадают при образовании пропагатора S). Действительно такие петли представляют собой радиационные поправки к диагональному элементу 5-матрицы для перехода вакуум —вакуум. Но согласно (103,6) сумма всех этих петель (вместе с единицей нулевого приближения) дает лишь несущественный фазовый множитель, который не может отразиться ни на каких физических результатах.
Переход от координатного к импульсному представлению происходит обычным образом. Так, во втором приближении теории возмущений пропагатор — iS>nv (k) (который мы будем изображать графически жирной пунктирной линией) дается суммой
р+к
508
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
где все диаграммы вычисляются по обычным правилам (перечисленным в § 77), с той лишь разницей, что внешним фотонным линиям, как и внутренним, тоже сопоставляются множители
— iD^ (k). Аналитическая запись этой формулы дает поэтому1)
?Vv (А) « (k) + ie'D^ (k) f Sp /G (p + k) y*G (p) Dpv (k)
(103,10)
(биспинорные индексы у матриц у и G, как обычно, не выписываем).
Члены следующих приближений строятся аналогичным образом; они изображаются совокупностями диаграмм с двумя внешними фотонными концами и нужным числом вершин. Так, членам ~ е4 отвечают следующие диаграммы с четырьмя вершинами:
(103,11)
Четырьмя вершинами обладает также и диаграмма
верхнюю часть которой составляет петля, образованная одной «замкнутой на себя» электронной линией. Такая петля отвечает
свертке ijj(;c) y1^ (я), т. е. просто среднему по вакууму значению тока: <0 (/ (х) 10>. Но уже по самому определению вакуума эта величина должна тождественно обращаться в нуль, и это тождество не может, разумеется, быть изменено никакими дальнейшими радиационными поправками к такой петле2). Поэтому вообще никакие диаграммы с «замкнутыми на себя» электронными линиями не должны учитываться ни в каком приближении.
Часть диаграммы («блок»), заключенную между двумя фотонными линиями (внешними или внутренними), называют вообще фотонной собственно-энергетической частью. В общем случае
г) При определении знаков не забыть о множителе —1, привносимом замкнутой электронной петлей!
2) Хотя прямое вычисление по диаграммам и привело бы к расходящимся
интегралам.
§ 103]
ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР
509
такой блок еще сам может быть разделен на части, соединенные попарно одной фотонной линией, т. е. имеет структуру вида
где кружки обозначают блоки, которые уже нельзя разделить дальше таким способом; эти части называют компактными (например, из четырех собственно-энергетических частей 4-го порядка
(103,11) компактны первые три).
Обозначим символом i53MV/4n сумму всех (бесконечного множества) компактных собственно-энергетических частей; функцию 5s(iv (6) называют поляризационным оператором. Классифицируя диаграммы по числу содержащихся в них компактных частей, можно представить точный пропагатор в виде ряда
Предыдущая << 1 .. 172 173 174 175 176 177 < 178 > 179 180 181 182 183 184 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed