Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
§ 106. Вершинный оператор
В сложных диаграммах можно выделить, наряду с собственноэнергетическими частями, также и не сводящиеся к ним блоки другого вида. К важной категории таких блоков мы придем, рассмотрев функцию
Kfk(Xi, х2, х3) = <01ТЛЦ (#i)ip; {х2) (х3) J 0> (106,1)
с одним 4-векторным и двумя биспинорными индексами; в силу однородности пространства-времени она зависит лишь от разностей
1) Если функция f (x) = f1 (*) f2 (х), то ее компоненты Фурье
/ (/>) = J / (х) е<Р* d*x=JJJ (9l) h (9д)=я
= II d ~ 6<4> (Чд f* = J Ы?)М/> — Я)-
При переходе от (105,13) к (105,14) учтено также, что
§ 106] ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР 519
аргументов х1г х2, х3. Выраженная через операторы в представлении взаимодействия, функция К имеет вид
К% (xlt х2, х3) - i0-1 I.°> , (106,2)
Переход к импульсному представлению осуществляется формулой (2n)*b^(p1 + k — pa)K^k(pa, рг\ k) =
~ § § § ^ (Xl> х*' Хз) e~ikXi+ iP2x*-iP'x» dix1 dix2 d*x3. (106,3)
В диаграммной технике функциям Кш соответствуют блоки (треххвостки) вида
I
(106,4)
h Pf
с тремя (одним фотонным и двумя электронными) концами, импульсы которых связаны законом сохранения
p1+k = pa. (106,5)
Член нулевого порядка в разложении этой функции обращается в нуль, а член первого порядка в координатном представлении
К»(х0 х2, x^^e^G {x2-x)yvG{x — x3)-D^{xl—x)dix или в импульсном представлении
К»{р2, р» k)=eG(pt)yvG(p1).D*(k) - (106,6) (биспинорные индексы опущены); соответствующая диаграмма:
и
(106,7)
Рг. Pf
При переходе к следующим приближениям диаграммы усложняются за счет добавления новых вершин. Не все такие диаграммы, однако, дают нечто существенно новое. Так, в третьем порядке
520 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ [Гл. XI
возникают диаграммы
! !
О
Л
I I
(106,8)
Первые три можно рассечь (по одной фотонной или электронной линии) на простую вершину (106,7) и собственно-энергетическую часть второго порядка; для четвертой диаграммы такое разбиение невозможно. Эта ситуация имеет общий характер. Поправки первого рода приведут просто к замене в (106,6) множителей GhD точными пропагаторами $ и Ш). Остальные же члены разложения в сумме приведут к новой величине, которая заменит собой в (106,6) множитель 7м-. Обозначив эту величину через Г^, имеем, таким образом, по определению
К*(Р„ Pi, k) = {i’§{pi){—ieTv{p2, рг\ fc)]iS(p,)}[—13)^ (k)\ (106,9)
Блок, соединенный с другими частями диаграммы одной фотонной и двумя электронными линиями, называют вершинной частью, если этот блок нельзя разделить на части, соединенные между собой лишь одной (электронной или фотонной) линией. Величина Г'1 представляет собой сумму всего (бесконечного) множества вершинных частей, включая простую вершину ее называют вершинным оператором (или вершинной функцией).
Приведем все диаграммы вершинного оператора с точностью до величин пятого порядка:
-йл~Л+л+Л+Л+
а) 6) 6) г)
8) е) зк) з) и)
(точный вершинный оператор — ieГ мы обозначаем черной точкой).
Оператор Г (как и оператор у простой вершины) имеет два матричных (биспинорных) й один 4-векторный индекс; он является функцией двух электронных (рх, р2) и одного фотонного (6) импульсов. При этом все три импульса не могут одновременно отно-
(106,10)
$ 106]
ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР
521
ситься к реальным частицам: диаграмма (106,4) сама по себе (не как часть более сложной диаграммы) отвечала бы поглощению фотона свободным электроном, но такой процесс несовместим с законом сохранения 4-импульса реальных частиц. Поэтому хотя бы один из трех концов диаграммы должен относиться к виртуальной частице (или к внешнему полю).
Вершинные части можно разделить еще на две категории: неприводимые и приводимые. Неприводимыми называют те из них, которые не содержат в себе собственно-энергетических поправок к внутренним линиям и в которых нельзя выделить частей, представляющих собой поправки (более низкого порядка) к внутренним вершинам. Так, из диаграмм (106,10) неприводимы лишь б) и г) (не считая простой вершины а)). Диаграммы ж), з), и) содержат собственно-энергетические части; в диаграмме в) верхний горизонтальный пунктир можно рассматривать как поправку к верхней вершине, а боковые пунктиры в диаграммах д) и е) — как поправки к боковым вершинам.
Заменив в неприводимых диаграммах внутренние линии такими же жирными линиями, а вершины — черными точками (т. е. заменив приближенные пропагаторы D, G точными S), а приближенные вершинные операторы у—точными Г)1), мы получим, очевидно, совокупность всех вообще вершинных частей. Таким образом, разложение вершинного оператора можно представить в виде
I ! ! >
(106,11)
Это равенство представляет собой по отношению к Г интегральное уравнение с бесконечным числом членов в правой стороне.
Из изложенного ясен общий принцип составления точных выражений для диаграммных блоков с любым числом концов. Они строятся как средние по вакууму от Г-произведений гейзенберговских операторов: по одному оператору ^(л;) на каждый конечный электрон, ij)(x)—на каждый начальный электрон н А (х)— на каждый фотон.
Приведем еще один пример: диаграммы вида
