Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 180

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 185 186 .. 247 >> Следующая

Uilv(x — x') = Anie2<:0\Tjil(x) /v(*')]0>. (Ю4,4)
Оно в явном виде выявляет калибровочную инвариантность П^, поскольку таковы операторы тока.
Из (104,4) можно получить важное интегральное представление этой функции.
Ввиду (104,2) достаточно рассмотреть скалярную функцию П = ПЦ/3. В координатном представлении
П (х — х') = ^ ie2 <01 Т/м (х) /м (*') 10> =
( S<0|/u (x)\n><n\jll(x’)\Qy при t>t',
— _ je2 1 « (104 5)
3 1 2 <0|/м (*')]«> <«)/M Ml 0> при t<f,
где символ n нумерует состояния системы (электромагнитное+
§ 104] СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА 513
+ электрон-позитронное поля)1). Так как оператор тока j (х) зависит от x^ = (t, г), то зависят от х также и его матричные элементы. Эту зависимость можно установить в явном виде, если выбрать в качестве состояний | пУ состояния с определенными значениями полного 4-импульса.
Зависимость матричных элементов тока от времени, как и для всякого гейзенберговского оператора, дается выражением
<п | j11 (/, г) | ту — <п | (г) | ту e~l
где Еп, Ет — энергии состояний |и> и \тУ, a j (г) — шрединге-
ровский оператор.
Для определения координатной зависимости матричных элементов рассматриваем оператор j (г) как результат преобразования оператора j (0) путем параллельного переноса на расстояние г. Оператор такого переноса есть exp(irP), где Р —оператор полного импульса системы (см. III (15,15)). Имея в виду общее правило преобразования матричных элементов (см. III (12,7)), найдем поэтому, что
<п | (г) | ту = <д | е~кР /й (0) е,гР | ту = <п | (0) | ту ё <pm-pn>г.
Вместе с предыдущей формулой это дает окончательно
<n\j^{t, r)\my = <ti\j>l(0)\mye-i('pm-p'i)x. (104,6)
Отметим также, что матрица <« | (0) | ту эрмитова (как и матрица
(104,6) оператора /й(/, г) в целом), а в силу уравнения непрерывности (102,7) она удовлетворяет условию поперечности
(Pn-Pmr<n\j»(0)\my = Q. (104,7)
Вернемся к вычислению функции П(х — х'}. Подставив (104,6) в (104,5), имеем
П(Е)=^?<0|/д(0)|л><л|Г(0)|0>е=Р«,»6 при т^0, (104,8)
П
где х — х' = 1= (г, 1). Обозначим
р (&) = - (2л)3 ? <01 /V (0) | пу <01 Г (0) | п>* (k - Рп).
(104,9)
Суммирование производится по всем системам реальных электронных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном с 4-импульсом h — (со, к) (со > 0), а для каждой из таких
х) Оператор тока сохраняет заряд; поэтому состояния | л> в (104,5) могут содержать лишь одинаковые числа электронов и позитронов.
514
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
[Гл. XI
систем — еще и по ее внутренним переменным (поляризации и им-ч пульсы частиц в системе центра инерции)г). В результате такого суммирования функция р может зависеть только от k, а ввиду ее скалярности —только от №. В частности, р не зависит от направления к. Имея в виду эти свойства функции р, переписываем
(104,8) в виде
II (|) = — i J da j ¦— р (k2) e'ks -I т1 = о
оо
=—1 f (S Wda> d ^8 ~^р ^ ein~?a 1 т '¦
о
Переход к импульсному представлению осуществляется подстановкой сюда формулы
00
e-to|T| = 2i(o Г (104,10)
J kl—w2-fi0 2 л v
— oo
(использованной уже в § 76) и дает
оо оо
П (№) = | d Ox2) | d (о2) 6 (р,2 + к2 - о2) —,
О
или окончательно3)
~со2+*0 о о
С04-1')
о
Коэффициент р в этом интегральном представлении называют спектральной плотностью функции П(й2). Он обладает свойствами:
р(?2) = 0 при ?2<0, р (№) > 0 при &2 > 0.
Действительно, 4-импульс k виртуального фотона, который может родить систему реальных частиц, непременно времениподо-
1) Такое определение состояний | п>, очевидно, тождественно с определением их как состояний, для которых отличны от нуля матричные элементы <01 У | п> зарядово-нечетного оператора.
2) Формальные вычисления, аналогичные произведенным выше, требуют осторожности ввиду наличия упоминавшихся уже расходимостей. Эго приводит, в частности, к появлению в правой части (104,11) дополнительных расходящихся членов, не имеющих явно релятивистски инвариантного вида (так называемые швингеровские члены). Мы не выписываем их, поскольку они все равно исчезают при перенормировке (§ 110) и не сказываются на дальнейших результатах.
§ 105] ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 515
бен (k? совпадает с квадратом полной энергии частиц в системе их центра инерции). В силу же условия поперечности (104,7) имеем
Рп <0| /V (0)| п> = 0.
Но 4-вектор <0|/|п>, ортогональный времениподобному 4-вектору (Рп), пространственноподобен, т. е.
<01 in (0) ] п> <0 | (0) | пУ < 0,
а потому согласно определению (104,9) р > 0.
§ 105. Точный электронный пропагатор
Подобно фотонному, точный электронный пропагатор определяется формулой
$ik (* — *') = — i <01 Тф, (х)ук (х') 10> (105,1)
(i, & —биспинорные индексы), отличающейся от определения (75,1) пропагатора свободных частиц
Gik (х-х') = — ? <01 T^nt (х) ^nt (х') 10> (105,2)
заменой я|з-операторов в представлении взаимодействия на гейзенберговские.
Те же рассуждения, что и при выводе (103,7), позволяют преобразовать к виду _
<0 I Tibjnt (*) \|?int (*') S I 0>
»„(*-*') = -*..... . (105,3)
Разложение этого выражения по степеням е2 приводит к представлению S-функции в виде совокупности диаграмм с двумя внешними электронными линиями и различным числом вершин. При этом роль знаменателя в (105,3) снова сводится к необходимости учитывать лишь диаграммы без изолированных «вакуумных петель». Так, с точностью до членов ~е4 графическое представление пропагатора $ (жирная сплошная линия) имеет вид1)
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 185 186 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed