Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
в пропагаторах, отвечающих пересеченным на диаграмме (113,1) линиям петли (S. Mandelstam, 1958, R. Cutkosky, 1960).
Обратим внимание на то, что условия (115,8) выделяют ту область импульсного пространства, в которой линии виртуальных частиц на диаграмме отвечают реальным частицам (или, как говорят, 4-импульсы./7 и p — k лежат на массовой поверхности). Здесь ясно видна связь с методом соотношения унитарности, в котором эти же линии заменялись на линии реальных частиц промежуточного состояния.
А/ = {/ (р, k0 + гб) — / (р, k0 — г'б) }б-*+о =
;2 + (б (k0-p0)2-z2-i?,\dp0-
Используя равенство
(см. (111,3)), получим
оо
А / = г (2лi)2 ^ 6(/?2 — е2)6[(?0 — р0)2 — е2]ф(/?0, р)dp0.
О
р1 — е2 = р2 — т2, (k0 — p0)2 — z2 = (k — р)2 — m2.
р2 = т2, (p — k)2 = m2.
(115,8)
р2—m2-\~i0
—*¦—2m6 (р2 — т2)
(115,9)
§ 116] ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ЭЛЕКТРОНА 561
Мы видим также математическую причину отсутствия расходимости в мнимой части диаграммы: она определяется интегрированием по конечной области массовой поверхности вместо интегрирования по всему бесконечному импульсному 4-пространству в исходном фейнмановском интеграле.
Чтобы получить теперь из (115,7) выведенную в § 113 формулу, вернемся к системе отсчета, в которой к = 0, и проведем интегрирование по
d4p = \p\&dzdp0do.
Интегрирование сводится к снятию S-функций. При этом б (р2 - тг) dp0 = б (р'~ е2) dp0-^~b (р0 - е) dp0,
и затем вторая б-функция:
б [(р — k)2 — m2 j dz = б [(pa — kj)2 — e2] dz =
= 6 ( — 2e/ea + ?3) de —>• 6^e — ^ dt.
В результате получим
A5»(*) = _i^J j/ tzpt ф(е, p) do, (115,10)
где t = k2 — k%, а значение функции ф берется при
т. е. равно
Ф(е. Р) = з^(2m2 + t)
и не зависит от угла. Поэтому интегрирование по do сводится к умножению на 4л, и мы возвращаемся к (113,8).
В изложенном выводе существен только тот факт, что диаграмма рассекается на две части путем пересечения всего двух линий. Поэтому сформулированное правило остается в силе и для диаграмм, составленных из любых двух блоков, соединенных двумя (электронными или фотонными) линиями. Интеграл, вычисленный путем замены (115,9), определит при этом тот вклад в мнимую часть диаграммы, который в методе соотношения унитарности связан с соответствующим двухчастичным промежуточным состоянием.
§ 116. Электромагнитные формфакторы электрона
Рассмотрим вершинный оператор Г,1 = Г,1(р2, рг; k) в случае, когда две электронные линии являются внешними, а фотонная — внутренней. Электронным внешним линиям отвечают множители
562
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
Ui — и (pi) и и2 — и (р2), так что Г входит в выражение диаграммы в виде произведения
# = йа Г^. (116,1)
Как уже отмечалось в § 111, оно представляет собой электронный ток перехода с учетом радиационных поправок. Требования релятивистской и калибровочной инвариантности позволяют установить общий вид матричной структуры этого тока.
Оператор электромагнитного взаимодействия V = e(jА) — истинный скаляр (а не псевдоскаляр), чем выражается сохранение пространственной четности в этих взаимодействиях. Поэтому ток перехода //,• — истинный 4-вектор (а не псевдовектор). Он может выражаться, следовательно, только через истинные же 4-векторы, составленные из имеющихся в нашем распоряжении двух 4-век-торов pi и р2 (третий k = p2— р,) и биспиноров иг и и2. Таких независимых 4-векторов, билинейных по и2 и и1У есть всего три:
(Ц2^1) Pi, (^2^1) Pi,
или, что то же,
и2уии (и2их) Р, (u^ujk, (116,2)
где Р — pi +р2- Но условие калибровочной инвариантности требует поперечности тока перехода к 4-импульсу фотона k\
jflk = 0. (116,3)
Этому условию удовлетворяют первые два из 4-векторов (116,2): первый в силу уравнений Дирака
(ур1 — т)и1 = 0, и2(ур2 — т)=0, (116,4)
а второй — потому, что Pk = 0. Ток jfl представляется линейной комбинацией этих двух 4-векторов:
it = /1 (“2«i) Р* + /2 (m2T^«i),
где fi, /2 — инвариантные функции; их называют электромагнитными формфакторами электрона.
Так как 4-импульсы Pl и р.г относятся к свободному электрону, то pi = p| = m2, и из трех 4-векторов Pl, р2, k (связанных равенством k — р2 — рх) можно составить всего одну независимую скалярную переменную, в качестве которой выберем k2. Тогда формфакторы —функции k2.
Выражение для тока можно представить и в других видах, с другим выбором двух независимых членов. Использовав уравнения (116,4) и правила коммутации матриц у, легко убедиться, что
(UzO^uJkv^— 2m(uiy^ui)+(uiu1) Р», (116,5)
§ 116]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ЭЛЕКТРОНА
563
где cr^v = Уз (7U7V — Y'V1)- Коэффициент при таком члене имеет, как мы увидим, важный физический смысл, так что будем писать
г*=y»f m-±g {т <^/ev', (ii6,6)
где f, g — два других формфактора; смысл выделения множителя
1 /2/и выяснится ниже1). Для краткости мы пишем вместо тока вершинный оператор, подразумевая, что он должен браться «в обкладках» и.г.. .и^.
Для выяснения свойств формфакторов рассмотрим диаграмму
(110,16) процесса взаимодействия электрона с внешним полем. Соответствующая ей амплитуда рассеяния
Mfi = -ejfap(k), (116,7)
